Summe der Combinationen ster Classe ohne Wiederholungen aus den Elementen 1, 2,....k, wobei jede Combination als Produkt gilt, ferner sei m eine positive ganze Zahl>1; man soll nun zeigen, dass sich die Reihe ist. Für m=2 erhält man wegen 8+1 =1.2...(s+1) eine blosse Identität, für m>2 dagegen scheint die zweite Reihe rascher zu convergiren als die erste und deshalb die Transformation selbst nicht nutzlos zu sein. Von dem Herrn Doctor J. Dienger, Lehrer der Mathematik und Physik an der höheren Bürgerschule zu Sinsheim bei Heidelberg. Herrn Professor Dr. O. Schlömilch an der Universität zu Jena. Die Summe der Reihe 1"+2′′ +3′′ + +r lässt sich bekanntlich in Gestalt einer nach Potenzen von r verlaufenden Reihe darstellen, und man zeigt diess gewöhnlich mit Hülfe einer der inversen Differenzenrechnung angehörigen Formel; es scheint dagegen noch nicht bemerkt worden zu sein, dass man zu demselben Resultate auf einem ungleich einfacheren Wege gelangen kann. Bezeichnen wir nämlich mit f(x) die Summe der Reihe e2 + e2x + e3 x + .... + ets, so ist durch nmalige Differenziation nach x f(n) (x) = 1a e2 + 2o e 2o +3′′ e3* +.... + r2ers, (1) Hieraus geht hervor, dass es nur darauf ankommen würde, den nten Differenzialquotienten der Funktion f(x) zu entwickeln, was auf folgende sehr leichte Weise bewerkstelligt werden kann. Bringt man die bekannte Formel für die Summirung der geometrischen Progression in Anwendung, indem man die Exponentialgrösse er an die Stelle des Progressionsexponenten setzt, so findet man leicht Wenn nun was offenbar mit dem Vorhergehenden zusammenfällt. überhaupt f(x)= q(x) (x) ist, so gilt bekanntlich die Formel f(n) (x)=n ̧ ❤(n) (x) 4(x) +n ̧❤(n−1)(x) 4′(x) und für x=0 +n2❤(n−2) (x) ¥′′ (x) + .... ƒ(n) (0) = no q(n) (0) ¥(0) + n ̧ ç(n−1) (0) v′ (0) (4) +n,(n−2) (0) ” (0) +.... Diess lässt sich leicht auf unseren Fall anwenden, indem man nimmt, und man erhält dann Folgendes. 1. Vermöge der bekannten Reihe für er ist (5) (6) 2. Nimmt man in der bekannten, für 2x>z>-2π geltenden Reihe: worin B1, B3, B5,... die Bernoullischen Zahlen bedeuten, z=√1. so wird (9) (0)=(−1)9+1 Bq-1 für jedes gerade q>0, (9) (0)=0 für jedes ungerade q> 1. Substituiren wir jetzt in die Gleichung (5) das, was die Formel (6) für p=n, n−1, n − 2, .... und die vorstehende für q=2,3,4,.... giebt, so gelangt man zu der Gleichung XXXVII. Ueber die Auflösung reiner Gleichungen, insbesondere solcher des dritten Grades durch Kettenbrüche. Von dem Herrn Doctor E. W. Grebe, In der Gleichung xD wollen wir nicht allein n, sondern auch D als eine positive ganze Zahl voraussetzen, und nun die reelle positive Wurzel dieser Gleichung, die wir uns jedoch nur als irrational denken und mit zo bezeichnen wollen, durch den gemeinen Kettenbruch ausdrücken, zugleich aber auch die Näherungswerthe dieses Kettenbruchs durch Bezeichnen wir den auf g; noch folgenden Kettenbruch durch 1 |