her nach dem Obigen für die astronomische Refraction eine analytischen Ausdruck von der folgenden Form:

1.3.

89) A sin Z+1B sin Z3+

1.3.5

2.4 Csin 75 +2.4.6 sin Z1+ ...

Einen Ausdruck von anderer Form kann man auf folgende Art entwickeln. Nach dem Obigen ist

und folglich, wenn man für seinen aus dem Vorhergehenden bekannten Werth einführt:

nach dem Binomischen Lehrsatze in eine Reihe, so erhalten wir:

also, wenn man auf beiden Seiten dieser Gleichung integrirt, auf ganz ähnliche Weise wie bei der vorhergehenden Entwickelung:

gewisse von der scheinbaren Zenithdistanz Z ganz unabhängige' Grössen bezeichnen, für die astronomische Refraction unmittelbar der folgende Ausdruck ergiebt:

1

91) ©=A tang Z —— Btang Z3 + 3.3 Ctang Z5 –

2

盏

Diese Form des allgemeinen Ausdrucks der astronomischen Refraction wird der Theorie derselben gewöhnlich zum Grunde gelegt, und dabei eine grössere oder geringere Anzahl von Gliedern der Reihe auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens vom Anfange derselben, an berücksichtigt. Da es uns hier, wie schon. in der Einleitung bemerkt worden ist, vorläufig nur auf eine allge meine Erläuterung dieses wichtigen Gegenstandes ankommt, und wir für jetzt mit diesen Entwickelungen nur eine Vervollständigung der im Vorhergehenden gegebenen Theorie der terrestrischen Refraction, vorzüglich Anfängern zu Liebe, bezwecken; so wird es der Kürze wegen hinreichend sein, bei den beiden ersten Gliedern der obigen Reihe stehen zu bleiben, und daher

92) = A tang Z-Btang Z3

zu setzen. Die Coefficienten A und B sind offenbar nur so lange constant, so lange der Zustand der Atmosphäre ungeändert, d. h. so lange der Stand des Barometers und Thermometers am Beobachtungsorte derselbe bleibt. Legen wir nun aber den Zu stand der Atmosphäre, wenn am Beobachtungsorte der Stand des Barometers Om,76 und der Stand des Thermometers 0 ist, als einen Normalzustand zum Grunde, lassen ferner jetzt A und B die diesem Normalzustande der Atmosphäre entsprechenden Werthe der beiden Constanten bedeuten, und setzen endlich, wie gewöhnlich geschieht und, wenn auch nicht mit völliger Strenge, den Beobachtungen zufolge doch wenigstens näherungsweise verstattet ist, die atmosphärischen Refractionen den Dichtigkeiten der Luft proportional; so wird man offenbar, da bekanntlich

die Dichtigkeit der Luft bei dem Barometerstande 6 und der Temperatur t ist, nach dem Obigen im Allgemeinen

oder

93)

F(b,t). (Atang Z-B tang Z3)

94) = F(b,t) A tang Z— }, F(b,t)B tang Z3

zu setzen haben. Die Constanten A und B in dieser Formel müssen aber durch Beobachtungen bestimmt werden, wozu die Astronomie verschiedene Wege darbietet, von denen wir hier jedoch nur den folgenden etwas näher erläutern wollen.

Man messe die scheinbaren Zenithdistanzen Z' und Z" eines Circumpolarsterns bei seinem obern und untern Durchgange durch den Meridian, und beobachte gleichzeitig die Stände des Barometers und Thermometers b', t' und b", t"; so hat man, wenn die entsprechenden Refractionen durch und " bezeichnet werden, nach 94) die beiden folgenden Gleichungen:

℗'=F(b', t') tang Z' . A—¿F(b', ť′) tang Z'3. B,

℗′′ = F(b", t′′) tang Z". A — ; F(b",t") tang Z′′3. B.

Weil nun Z'+', Z" + " die wahren Zenithdistanzen sind, und bekanntlich, wenn P den Abstand des Pols vom Zenith bezeichnet, jederzeit

ist *); so erhalten wir aus den beiden obigen Gleichungen, wenn der Kürze wegen

α=Z'+Z",

B=F(b', t') tang Z' + F(b",t") tang Z",

y=F(b', t) tang Z3+F(U",t") tang Z"3

gesetzt wird, wo die Grössen a, B, y aus den Beobachtungen sämmtlich bekannt sind, auf der Stelle die folgende Gleichung:

a+BA—7B = 2P.

Hat man nun aber ganz auf dieselbe Art wie vorher drei Circumpolarsterne beobachtet, so erhält man auch drei Gleichungen von der Form;

*) Die obern oder untern Zeichen sind hier und nachher zu nehmen, jenachdem die Zenithdistanz Z" (für unsere Hemisphäre) auf der Nordseite oder auf der Südseite des Zeniths gemessen worden ist.

aus den Beobachtungen sämmtlich bekannt, und nur die drei Grössen A, B, P unbekannt sind, welche letzteren sich also mittelst der drei vorhergehenden Gleichungen bestimmen lassen.

Dass durch Vervielfältigung solcher Beobachtungen und mittelst der Anwendung der Methode der kleinsten Quadrate eine grössere Genauigkeit bei diesen Beobachtungen erreicht werden kann und nur allein zu erreichen ist, dürfen wir hier als allgemein bekannt voraussetzen. Jede Beobachtung eines Circumpolarsterns liefert eine Gleichung des ersten Grades von der obigen Form zwischen den drei unbekannten Grössen A, B, P; und hat man nun mehr als drei Sterne beobachtet, so lassen sich die daraus resultirenden Gleichungen, deren Anzahl die Anzahl der zu bestimmenden drei unbekannten Grössen übersteigt, bekanntlich nur der Behandlung nach der Methode der kleinsten Quadrate unterwerfen.

Dass sich zur Bestimmung der constanten Coefficienten in der Gleichung 89) eine der vorhergehenden ganz ähnliche Methode anwenden lassen würde, fällt auf der Stelle in die Augen.

Das Obige enthält zugleich eine Methode zur Bestimmung der die vorher durch P bezeichnete Distanz des Pols vom Zenith zu neunzig Graden ergänzenden Polhöhe des Beobachtungsorts, ohne dabei die unmittelbare Kenntniss der Refraction vorauszusetzen, hat hier aber zunächst nur den Zweck, im Allgemeinen die Möglichkeit der Bestimmung der beiden Constanten A und B durch Beobachtungen zu erläutern.

Eine weitere Entwickelung der Theorie der astronomischen Refraction behalte ich einer andern, Gelegenheit vor, und bemerke nochmals, dass die obigen kurzen, wenig erschöpfenden Betrachtungen über diesen wichtigen Gegenstand nur der Vollständigkeit wegen und Anfängern zu Liebe beigefügt worden sind, indem ich in der vorliegenden Abhandlung hauptsächlich nur eine weitere Entwickelung der geometrischen Theorie der terrestrischen Refraction im Auge hatte, und wohl wünschte, durch dieselbe, die Aufmerksamkeit einer grösseren Anzahl von Lesern auf diese Theorie von Neuem hinzulenken, und zu einer Wiederholung der Bestimmung des terrestrischen Refractions coefficienten mit sorgfältiger Berücksichtigung aller dabei' in Betracht kommenden Umstände vielleicht Veranlassung zu geben.

Der Differenzialquotient von " ist bekanntlich die Gränze, welcher sich der Ausdruck

nähert, sobald Ar bis zur Null abnimmt.

Da unter dieser Vor

aussetzung auch gegen die Null convergirt, so kann man

setzen, und es ist jetzt für Lim 8=0:

(1).

Zur Auffindung des Gränzwerthes rechts hat man sehr verschie dene Wege eingeschlagen, weil man nicht gern das Binomialtheorem für jeden beliebigen Exponenten dabei in Anwendung bringen, sondern im Gegentheil dieses erst im Verlaufe der Differenzial rechnung mit Hülfe des Werthes von d(x): dx ableiten wollte. Zwar hat es nicht die mindeste Schwierigkeit, mit Hülfe des Satzes

*

Lim [ (1 + að)3]
[(1+ad)]=ea

die gesuchte Limes zu ermitteln, wie ich z. B. in meinem Handbuche der Differenzialrechnung gethan habe; wem aber die Anwendung dieses Theoremes zu fremdartig erscheinen mag, dem wird vielleicht die folgende Entwickelung besser zusagen, worin nichts weiter als die Kenntniss der ganz elementaren Formel um 1 1

vorausgesetzt wird.

1 + u + u2 +

+um-1

Sei zunächst eine ganze positive Zahl =m, so ist

(2)