und diess vermöge der Formel (2) auch iols)

=1+(1+8)+(1+6)2+ 6... +(148)m—Anime se

Da sich nun für bis zur Null abnehmende 8 jedes einzelne Glied der Gränze 1 nähert, so wird

Schreibt man kd für 8, so erhält man noch

Sei ferner μ gleich einem Bruche 2, dessen Zähler und Nenner als ganze positive Zahlen vorausgesetzt werden, und

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und hier muss eine Grösse sein, die mit 8 gleichzeitig bis zur Null abnimmt, weil man ausserdem nicht auf die Voraussetzung (5) zurückkäme, sobald hier gegen die Null convergirt. Es folgt nun weiter

und folglich nach Subtraktion der Einheit und Division mit d

zu setzen, wo e' mit d bis zur Null abnimmt. für die Gleichung (6), wo q, wie früher m, Zahl ist, so folgt

Gehen wir in dieser Gleichung zur Gränze für unendlich, d. h. bis zur Null abnehmende d über und erinnern uns, dass das Verschwinden von d auch das Verschwinden von e' und ' nach sich zieht, so giebt die Anwendung der Formel (3) für m=p

Mit No. (3) zusammen fliesst hieraus der Satz, dass für jedes rationale und positive μ

ist, der sich durch die blose Bemerkung, dass man sich nicht angebbaren Zahlen durch angebbare Zahlen soweit man will nähern kann, auf irrationale und positive μ, d. h auf jedes beliebige positive erweitert.

Ist endlich negativ, etwa μ=-v, so sei wieder

und da & eine mit 8 bis zur Null abnehmende Grösse sein muss, v aber an sich positiv ist, so folgt jetzt durch Gränzenübergang

Mit No. (7) zusammengehalten giebt diess den Satz, dass überhaupt für jedes reelle μ

ist, und dieser führt vermöge der Gleichung (1) zu der allgemeinen Formel

deren Beweis demnach nur die Kenntniss der Summenformel für die geometrische Progression in Anspruch nimmt.

Herrn Professor Dr. O. Schlömilch

an der Universität zu Jena.

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Die interessante Thatsache, deren Besprechung den Gegenstand dieser Zeilen ausmachen soll, besteht, in kürzester Form ausgedrückt, darin, dass eine durchweg convergente Reihe zwei oder mehrere ihrer Gestalt nach sehr verschiedene Summen haben kann, jenachdem eine in der Reihe vorkommende Variabele zwischen verschiedenen Gränzen liegt. Denken wir uns, um den Begriffen ein anschauliches Substrat zu geben, zunächst eine Reihensummirung von der Form

F(2)=A2+A1z+ Aqz2 +Á ̧23 + ....

ausgeführt, und substituiren wir für z die Grösse

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welche für kein reelles x die Einheit überschreitet; so bildet

F(1) = F(1)

offenbar eine neue Funktion von z, die sehr verschieden sein kann und etwa f(x) heissen möge. Wir haben dann

Die rechte Seite besitzt nun die Eigenschaft, sich nicht zu ändern,

Die rechten Seiten von (1) und (2) sind nun identisch, und daraus scheint zu folgen, dass es auch die linken Seiten sein müssten; aber das ist gar nicht nöthig, denn im Allgemeinen kann funmöglich mit f(x) zusammenfallen. Wenn nun ferner in (1) a <1 war, so ist in (2) das neue 1, und folglich müssen wir jetzt sagen: in der Gleichung

Wir wollen diess an einem Beispiele erläutern, dem man beliebig viele andere leicht anreihen kann.

(4)

d. h. eine Gleichung von der Form (1), und zwar diejenige, wo f(x) die einfachste Gestalt hat. Jedoch gilt dieses Resultat nur für 1; denn aus No. (3) geht, hervor, dass die linke Seite eine Funktion von z darstellt, welche beständig wächst, wenn man z das Intervall 0 bis 1 durchlaufen lässt, also für z=1 ihr Maximum erreicht daraus folgt denn sogleich

Vergleichen wir nun die unter (4). und (5) gefundenen Resultate, so ergiebt sich, dass die Summe der Reihe