Wir Anderen, die eine Gleichung zwischen Funktion und Reihe nur dann gelten lassen, wenn letztere convergirt, würden nun so verfahren. Die Formel (19) setzt voraus, dass <1 sei, weil sonst die Reihe divergirt und mit (1+x2)-n dann nicht mehr identisch ist. Wir führen also die ganze vorige Rechnung nur mit der Bedingung <1 und behaupten daher auch das Endresultat y=x oder die Gleichung (20) nur für x <1. Ist dagegen >1, so schreiben wir

1

setzen -έ, wo nun έ<1 ist, und nehmen die ganze Rechnung jetzt mit der Gleichung

1

Ꮖ

in Bezug auf έ so vor, wie vorhin in Bezug auf x. Es findet sich dann y=s, d. h. y=~, und so gelangen wir genau zu demselben Endresultate wie früher. Die Anzahl solcher Beispiele lässt sich übrigens leicht vermehren, und sie zeigen immer wieder, dass divergente Reihen den Funktionen, aus denen sie entwickelt wurden, nicht gleich zu setzen sind. Um aber solche Beispiele zu kennen, muss man sich im Gebiete des Calcüls etwas umgesehen und sich namentlich mit diskontinuirlichen Funktionen beschäftigt haben. Wer weiter nichts will, als Funktionen wie er, sina etc., in Reihen verwandeln, langt freilich mit jeder noch so miserabelen, ja sogar mit gar keiner Ansicht aus; geht man aber ein paar Schritte weiter, so lernt man bald das Gefährliche solcher angeb lich allgemeinen Theorien kennen; versteigt man sich endlich in Gegenden, wo es nur einen einzigen Weg, den man sich erst selbst brechen muss, und also auch keine Controlle giebt, so fühlt man die Nothwendigkeit solcher Methoden, welche die Garantie der Sicherheit in sich selbst tragen. Diess ist auch ganz einfach der Grund, warum alle die Männer, welche in neuerer Zeit die Wissenschaft materiell erweitert haben, sich zu den hauptsächlich von Cauchy und Lejeune Dirichlet vertretenen An

sichten bekennen.

IV.

Ueber die cylindrischen Kanalflächen.

Von dem

Herrn Doctor J. Dienger,

Lehrer der Mathematik und Physik an der höheren Bürgerschule zu Sinsheim bei Heidelberg.

Wenn eine geschlossene Fläche oder Körper sich so bewegt, dass einer ihrer Punkte auf einer bestimmten Kurve sich bewegt, so ist die umhüllende Fläche aller der successiven Lagen, welche die bewegliche Fläche einnimmt, eine Kanalfläche. Für den Fall, dass die bewegliche Fläche eine Kugelfläche von konstantem Halbmesser ist, deren Mittelpunkt auf einer gegebenen Kurve sich bewegt, nennen wir die entstehende Kanalfläche eine cylindrische. Wir stellen uns nun im Folgenden die Aufgabe, den Flächen- und den Rauminhalt dieser letztern Gattung zu bestimmen.

I.

Eine Kugel vom Halbmesser r bewegt sich so, dass ihr Mittelpunkt auf einem Kreise bleibt, dessen Gleichung ist

y2 = R2 - x2;

welches ist die Gleichung der beschriebenen Kanalfläche?

Bezeichnet a die Abscisse eines bestimmten Punktes des festen Kreises, so ist das dazu gehörige y=+VR2-a2 und die Gleichung der Kugelfläche, wenn ihr Mittelpunkt in diesem Punkte sich befindet, ist

(y +√ R2 — a2)2 + (x − a)2 + z2=r2, Differenzirt man diese Gleichung nach a, so ergiebt sich:

(1)

Eliminirt man nun a zwischen der Gleichung (1) and (2), so ergiebt sich als Gleichung der verlangten Kanalfläche:

(x2 + y2 + z2 + Ra—r2)2=4R2 (x2 + y2).

(3) Wie man leicht findet, wird diese Fläche von einer Ebene, die durch den Anfangspunkt der Coordinaten geht und auf der Ebene der xy senkrecht steht, in einem Kreise geschnitten, dessen Halbmesser r ist, was klar ist, da offenbar die vorliegende, durch die Gleichung (3) ausgedrückte Fläche auch entsteht, wenn ein Kreis vom Halbmesser r, dessen Ebene senkrecht steht auf der Ebene des festen Kreises, sich so bewegt, dass sein Mittelpunkt den Umfang des festen Kreises durchläuft, oder dass er sich um die Axe der z dreht in der Entfernung R.

Suchen wir nun den Flächeninhalt der betrachteten Kanal+ fläche zu bestimmen.

Sei in Taf. I. Fig. 8. CD ein Viertelskreis, dessen Mittelpunkt G und dessen Halbmesser DG=r ist; ferner sei 40 senk· recht auf GA und AG=R; EF ein Element des Kreises, dessen Gleichung

sein soll. Dieser Viertelskreis drehe sich um 40, so beschreibt das Element EF, das man als geradlinig betrachten kann, eine Kegelfläche, deren Inhalt

=x.EF.(MF+NE)=ñ.√ (dx)2+(dy)2. (R−x+R−x+dx)

x2

ist. Nun ist (d)=22; demnach ist die Fläche, welche

dx

Wäre der Viertelskreis nach Aussen, statt nach Innen gewendet, so fände sich für die beschriebene Fläche:

Die betrachtete Kanalfläche ist aber offenbar gleich der doppelten Summe dieser zwei Flächen, d. h. gleich

4Rrл2,

oder gleich der Umfläche eines senkrechten Cylinders von gleicher Weite, dessen Höhe gleich der Länge (2R) der Mittellinie der Kanalfläche ist. Biegt man also diesen Cylinder, bis er eine Kanalfläche bildet, so dehnt sich seine eine Seite um eben so viel aus, als die andere zusammengedrückt wird.

3

Den Rauminhalt erhält man auf ähnliche Weise. Der von NEFM erzeugte Körper hat einen durch. NM. (MF2 + MF . NE + (NE2) ausgedrückten Inhalt. Dieser ist Dieser ist nun gleich dy (Rx) лx(R-x)2dx ; somit hat der von ODCA erzeugte Körper den √ r2-x2

Ist der Viertelskreis nach Aussen gewendet, so erhält man für den entsprechenden erzeugten Raum:

Der Rauminhalt des cylindrischen Kanals ist aber gleich dem doppelten Unterschiede dieser beiden Körper, also gleich

d. h. gleich dem Kubikinhalte des vorhin erwähnten senkrechten Cylinders,

II.

Die vorstehenden Resultate können nun leicht verallgemeinert werden. Sei

y = f(x)

die Gleichung einer ebenen Kurve, auf der sich der Mittelpunkt der beweglichen Kugel bewegt, so ist die Gleichung dieser letztern

(x-a)2+(y-f(a))2 +z2=r2,'

und wenn man a zwischen dieser Gleichung und

x-a+(y-f(a)) f'(a) = 0

eliminirt, so erhält man die Gleichung der gesuchten cylindrischen Kanalfläche.

Diese ist offenbar die nämliche, als die Fläche, welche ein Kreis vom Halbmesser r beschreiben würde, dessen Mittelpunkt auf der gegebenen Kurve sich bewegt und dessen Ebene senkrecht steht auf der Ebene der Kurve,

Um die Oberfläche dieser Kanalfläche zu bestimmen, verfahren wir auf folgende Art.

Denken wir uns im Anfangspunkte der Coordinaten die Axe der errichtet, so kann man sich vorstellen, der bewegliche Kreis drehe sich um diese Axe. Betrachten wir (vorhergehende Figur) den Punkt F, so bleibt für ihn MF nicht konstant, wie in

I., sondern es ändert sich, je nach der Gestalt der festen Kurve; jedoch kann man für einen unendlich kleinen Winkel dy, um den sich der Kreis dreht, MF als konstant annehmen, wie auch die Entfernung aller Punkte des beweglichen Kreises von der Axe AO. Die durch solche Drehung beschriebene Oberfläche ist nach I.:

wenn die veränderliche Länge von AG bedeutet. Da o für die unendlich kleine Drehung du konstant bleibt, so ist ody=ds, wenn ds das Element der festen Kurve bezeichnet. Bewegt sich also der Mittelpunkt der beweglichen Kugel durch die Länge s der festen Kurve, so ist der Inhalt der dadurch erzeugten Kanalfläche:

d. h. gleich der Oberfläche eines senkrechten Cylinders von gleicher Weite, dessen Höhe gleich der Länge der Mittellinie ist. Ganz eben so findet man, dass der Kubikinhalt des Kanals gleich ist dem Kubikinhalte des eben erwähnten Cylinders,

Sei z. B. die Ellipse, deren Gleichung

1

x2 y2
+
-2=1
a2

ist, die leitende, feste Kurve (Mittellinie), so ist, wenn man die ganze Kanalfläche betrachtet, die Länge der Mittellinie:

ausdrücken kann. Der Flächen- und Rauminhalt der Kanalfläche sind nun:

Endlich sei die leitende Kurve eine krumme Linie doppelter Krümmung, deren Gleichungen sind: