Faktorielle 1.2.... (m-n) für m=n die Einheit bedeutet, so wird wird. Hiervon lässt sich sogleich die folgende interessante Anwendung machen. Sei f(u) eine beliebige Funktion von u und f(u) = Co+C1 U1 + C2 U1⁄2 + ...... wo Co, C1, C2,.... unbestimmte Coeffizienten bedeuten, so kann man C auf folgende einfache Weise bestimmen. Man multiplizire die ganze Gleichung mit Undu und integrire hierauf zwischen den Gränzen u−1, ù=+1, so wird +1 f_++ f(u) Undu= Cof1 Undu + G + ' U1 Undu + ... 1 Mit Ausnahme des Cn enthaltenden Gliedes sind hier alle Integrale von der Form 1 2 f. f(u) Undu = Cn2n+1 ' woraus sich der Werth von Cn findet, nämlich 2n +1 f(u) Undu. I Hat man hiernach die Coeffizienten C bestimmt, so ist (10) Es mag übrigens noch bemerkt werden, dass diese Ableitung der Formeln (10) und (11) zwar kurz und heuristisch, aber, wie der heuristische Gedankengang oft, nichts weniger als streng ist, da man die Bedingungen nicht erfährt, an welche die Gültigkeit der Gleichung (11) geknüpft sein kann. Eine strengere Begründung erhält man dadurch, dass man die Reihe in welcher die Coeffizienten mittelst der Formel (10) bestimmt sind, summirt, darauf n ins Unendliche wachsen lässt, und die Gränze bestimmt, welcher sich der gefundene Ausdruck nähert. In sehr eleganter und allgemeiner Weise hat in Crelle's Journal Herr Prof. Lejeune Dirichlet diesen Gedanken ausgeführt und es kann bei der Vollendung, welche der scharfsinnige Geometer seiner Arbeit gegeben hat, hier nur eine Verweisung auf dieselbe statt finden. VII. Ueber die Differenziation unendlicher Reihen. Von dem Herrn Professor Dr. O. Schlömilch Schon Abel hat darauf aufmerksam gemacht, dass der Differenzialquotient von der Summe einer unendlichen Reihe nicht immer der Summe der Differenzialquotienten der einzelnen Glieder gleich gesetzt werden darf *), er hat aber den Grund dieser auf den *) So gilt z. B. die Gleichung — 17 (2—2 cos x)=} cosx+¦ cos 2x † † cos 3x+.... ganz unbestritten für alle reellen ; wollte man aber differenziren, so würde 』: cotsin + sin 2x + sin 3x+..... herauskommen, was wenigstens qua Gleichung unrichtig ist; für x=0 erhielte man z. E. 0, was selbst syntaktische Genie's nur schwer werden deuten können. "" ersten Blick sehr befremdlich aussehenden Erscheinung nicht angegeben. Diess zu thun ist der Zweck der folgenden Zeilen. Es sei die Summe einer ngliedrigen Reihe F(x)= f(x,1) + f(x, 2) + ... + f(x,n) gegeben, so hat man - f(x‚2) F(x + ð) - F(x) __ f (x + d, 1) − f(x, 1) = f(x (1) ་ δ Nun ist aber nach der Definition des Differenzialquotienten '(x) =Limo(x+8) — ❤(x), und folglich kann man immer setzen, wo eine Grüsse bezeichnet, die mit 8 gleichzeitig bis zur Gränze Null abnimmt. Es folgt jetzt F(x+8) F(x) WO 81, 82, =f'(x, 1) + f'(x, 2) + ....+f'(x, n) ++++.... + en, En gewisse mit & gleichzeitig bis zur Gränze Null abnehmende Grössen sind. Durch Uebergang zur Gränze für unendlich abnehmende & wird jetzt F'(x)=f'(x,1)+f'(x, 2) + .... +f'(x, n) + Lim [&1 + 2 + ε3 + ... + εn]. } (2) Hier sind nun die zwei Fälle zu unterscheiden, ob nämlich n eine endliche constante, oder eine unendlich wachsende Zahl ́ ist. Dass im ersten Falle sei, erhellt sehr leicht auf folgende Weise. Es möge e' die grösste, έ" die kleinste unter den Grössen &, Ɛ,.... En bedeuten, so ist Da aber jede der Grössen 1, 2,.... unbegränzt abnimmt, so ist diess auch mit & und ε" der Fall, und da bei diesem Prozesse n constant bleibt, so hat man gleichzeitig woraus sogleich Lim (ne')=0, Lim (nɛ”)=0; Lim (1+2+...+&n)=0 folgt, und jetzt ergiebt sich aus No. (2) F'(x)=f'(x,1)+ f'(x, 2) + .... + f'(x,n), (3) In einer endlichen Reihe darf man also beiderseits Glied für Glied differenziren, ohne die Gleichheit beider Seiten zu stören. Ganz anders aber verhält sich die Sache, wenn n ins Unendliche wächst oder die Reihe eine unendliche ist. Obschon auch hier die Grössen 1, 2,.... in der Gleichung (2) der Gränze Null zueilen, so kann doch die Summe einer unendlichen Menge von ihnen sehr beträchtlich ausfallen. Wäre z. B. &1 =&q=&3 ..., für wir blos & schreiben wollen, so würde F' (x,n)=f'(x, 1) + f'(x, 2) + .... + f'(x, n) + Lim (ne) wo folgen, wo nun & unbegränzt ab-, dagegen n, wegen der Unendlichkeit der Reihe, unbegränzt zunimmt, folglich Lim (ne) gegen einen angebbaren Werth 4 als Gränze convergiren kann. Man sieht hieraus, dass es Fälle geben wird, in welchen eine Gleichung wie F(x)=f(x,1)+f(x,2)+f(x,3)+.... in inf. eine Consequenz von der Form (4) .. ́F'(x) −4=f'(x, 1) + f'(x ̧‚ 2) +.... in inf. (5) nach sich zieht, so dass es also unter Umständen nicht erlaubt ist, aus No. (4) schliessen zu wollen: {fr"! F'(x)=f'(x,1)+f'(x, 2)+...... in inf. Man kann dieses Resultat auf folgende Weise etwas prägnani ter und anschaulicher darstellen. Es sei wo das Summenzeichen bedeuten soll, dass n = 1, 2, 3,..... zu setzen ist und die so entstehenden Glieder zu summiren sind. Bezeichnen wir ferner die Differenziation in Bezug auf x mit einem blosen D, so dass also überhaupt ist, so folgt aus der Gleichung (6) ganz unzweifelhaft denn wenn zwei Funktionen identisch sind, müssen offenbar auch ihre Differenzialquotienten zusammenfallen. Dabei darf man jedoch die Stellung von D und nicht übersehen, es wird nämlich zuerst summirt und nach geschehener Summirung differenzirt. Dagegen ist es nicht immer erlaubt, die Reihenfolge dieser Operationen umzukehren und zu schreiben wo jedes einzelne Glied erst differenzirt und nachher Alles summirt wird. Mit einem Worte also: wer aus der Gleichung F(x) = f(x,n) ohne weiteres die folgende ableiten will: DF(x)=EDf(x,n), setzt stillschweigend voraus, dass immer ! DEf(x,n) = EDf(x,n) sei, kehrt also willkührlich die Reihenfolge der Operationen um. Man sieht hieraus, dass es immer noch einer besonderen Untersuchung bedarf, um entscheiden zu können, ob die durch Differenziation einer ursprünglichen Summenformel entstandene neue Gleichung auch wirklich richtig ist, oder nicht, was aber in den meisten Fällen keine besonderen Schwierigkeiten hat. VIII. Ueber den 28. Sätz des XI. Buchs der Elemente des Euclides. Von dem Herrn Dr. Joh. Jos. Ign. Hoffmann, Königl. Bayer. Hofrathe, Director des Lyceums zu Aschaffenburg, etc. 1. Dieser 28. Satz des XI. Buchs ist folgender: Wenn ein Parallelopipedum von einer Ebene durch die Diagona |