! X. Ueber einige Sätze der höheren Arith metik. Von Herrn Wilhelm Mösta, Lehramts - Candidaten zu Cassel. Es muss gewiss einem jeden Freunde der Zahlenlehre eine erfreuliche Erscheinung sein, wenn in neuerer Zeit immer mehr ein Band zwischen den vereinzelten Lehren der höhern Arithmetik und den übrigen Branchen der Mathematik geknüpft wird; umsomehr, da auf viele der hierher gehörigen Probleme ihrer Natur nach insbesondere von den Annäherungsmethoden der Analysis gar leicht Anwendung gemacht werden kann. In dieser Beziehung haben die Forschungen des Herrn Libri (Mémoires de l'Académie de sciences, savans étrangers, Tom. V.) Vortreffliches geleistet, indem durch sie die Lösung der Congruenzen von beliebigen Graden aus einem allgemeinen Princip hergeleitet, so wie die der vom 1. und 2. Grade durch Formeln gegeben werden, deren Werth sich in jedem besondern Falle durch Hülfe der Analysis ermitteln lässt. Hiernach schien es mir vielleicht der Mühe werth, die von Herrn Eisenstein (Crelle Journal für reine und angewandte Mathematik. Bd. 27. pag. 281.) aufgestellten Sätze, von denen meines Wissens noch keine Beweise gegeben sind, auf die obige Auflösungsmethode der Congruenzen zurückzuführen. Ich schicke die folgenden bekannten Sätze voraus. Ist n eine Primzahl, so sind sämmtliche Wurzeln der Gleichung xn-1=0 wo k alle Werthe 0, 1, 2,...,n-1 durchläuft. Bildet man die Summe der m-Potenzen dieser Wurzeln, so wird dieselbe= =n oder =0, jenachdem m ein Vielfaches von n ist, oder nicht; d. h. mit anderen Worten, es ist: 2π 2π 2π +1 sin0+ (cos +V-1 sin) m + ... 2π n 2π. +(cos(n-1) + V = 1 sin (n − 1) 2)m} n =1 oder =0. n Diese Eigenschaft der Wurzeln obiger Gleichung hat nun Herr Libri zur Bestimmung der Wurzeln der Congruenz so hat man nach dem Vorhergehenden unmittelbar für die Summe der Wurzeln der vorgelegten Congruenz den Ausdruck : 2π n n +(cos (n-1) +V=1 sin (2−1) =) 9 (x, y, ...) 2π n wo sich das Summenzeichen über die für x, y Reducirt sich die vorgelegte Congruenz auf eine solche vom ersten Grade mit einer Unbekannten, deren allgemeine Form ax+b=0 (mod n), so ist die Summe ihrer Wurzeln, wenn man noch berücksichtigt, dass es zur Auffindung aller Wurzeln der Congruenz genügt, für x die Werthe : 1, 2, 3....n zu betrachten, und man die Potenzen der Sinus und Cosinus in vielfache Bögen verwandelt, gegeben durch Sind a und n relative Primzahlen, so hat bekanntlich die Congruenz ax+b=0 (mod n) nur eine positive Wurzel, kleiner als n, und man hat desshalb für diese den Ausdruck 2π sino (b− a) n απ 0=1 sin 6 Versteht man nun unter G (N) die nächst kleinere ganze Zahl als Q, so wollen wir jetzt G(N)),. wo M und N relative Primzahlen sind, zu bestimmen suchen. Ist der bei der Division der Zahl M durch N bleibende Rest =x, so wird G sofort bekannt sein, wenn x bekannt ist. Zur Bestimmung des Werthes von a hat man aber nur die kleinste Auflösung der Congruenz M-x=0 (mod N) zu suchen. Diese ist aber nach der obigen Formel Die Formel I. stellt den kleinsten Rest von M für den Modulus N vor und I. und II. bilden die beiden ersten am angeführten Orte aufgestellten Sätze. Ich füge noch folgende Bemerkung bei. Sind M und N relative Primzahlen und üherdies N eine ungerade Zahl, so genügt, die Summe zwischen den Grenzen 6=1 N-1 und 6= 2 zu nehmen. Denn da sämmtliche Zahlen M, 2M, 3M...., (N −1) M nach dem Modulus N ungleiche Reste lassen und so bleibt das Product der beiden Functionen unter dem Summenzeichen durch Einführung der negativen Werthe von 6 ungeändert, und man hat desshalb auch für den kleinsten Rest von M für den Mod. N den Ausdruck. zu entwickeln, wobei wir wieder M und N als relative Primzahlen Voraussetzen. Zunächst ist klar, dass man für die kleinste Wurzel der Con so wird man durch Summation dieser verschiedenen Werthe die Summe der kleinsten Reste erhalten, welche durch Division der Zahlen M, 2M, 3M.... M durch N hervorgehen. Bezeichnen wir diese Summe durch S, so ist : Diese Reste sind sämmtlich von einander verschieden, und wenn v=N-1, so fallen selbige mit den Zahlen 1, 2, 3,....,N-1, ohne |