also Curven, welche unter das Geschlecht der Parabeln gehören, wenn 1>2n ist; für n=1 ist z. B. y = k√x. und in der That wird hierdurch die Gleichung (14) für n=befriedigt; für n= erhält man die sogenannte Neil'sche Parabel, die Evolute der Archimedeischen. ' XX. Uebungsaufgaben für Schüler. Von dem Herrn Professor Dr. O. Schlömil ch Man soll die folgende Regel zur Beurtheilung der Convergenz oder Divergenz der Reihe convergirt, so ist diess auch mit der obigen der Fall, und wenn die Reihe Von dem Mittelpunkte eines dreiachsigen Ellipsoids sind Perpendikel auf die Tangentialebenen desselben gefällt; man soll nun die Gleichung derjenigen Fläche aufstellen, welche die Fusspunkte jener Senkrechten in ihrer Continuität erzeugen. XXI. Ueber den Brinkley'schen Satz vom Mantel des schiefen Cylinders. Von dem Herausgeber. Brinkley hat die folgende Bestimmung des Mantels des schiefen Cylinders mit kreisförmiger Basis gegeben, welche, so einfach und so leicht sich ganz von selbst darbietend dieselbe auch ist, doch verdient, allgemeiner bekannt und bei dem Elementarunterrichte benutzt zu werden, da sie auch sehr wohl eine ganz elementare Darstellung gestattet. Dieselbe scheint übrigens von dem genannten Mathematiker schon vor längerer Zeit gegeben, und nur erst jetzt in einigen französischen und englischen Journalen von Neuem hervorgehoben worden zu sein., Bei dem geometrischen Elementarunterrichte ist es wohl manchem Lehrer schon eben so unangenehm, wie oft dem Verfasser dieses Aufsatzes, gewesen, in der Lehre vom Cylinder sagen zu müssen, dass die Bestimmung des Mantels des schiefen Cylinders in den Elementen sich nicht geben lasse und nur durch Kunstgriffe der höhern Mathematik möglich sei, überhaupt den Anfänger ohne alle Auskunft über diesen Gegenstand lassen zu müssen. In Taf. IV. Fig. 9. sei ABA'B' der durch die Axe eines schiefen Cylinders geführte, auf seinen beiden parallelen Grundflächen senkrecht stehende Schnitt. Legt man nun durch die beiden Punkte B and B' zwei auf der Axe des schiefen Cylinders senkrecht stehende Ebenen, so erhält man den zweiten geraden Cylinder BCB'C', und aus dem Princip der Symmetrie erhellet auf der Stelle, dass die beiden krummflächigen Mäntel der Körper ABC und A'B'C' einander gleich sind, der schiefe Cylinder ABA'B' und der gerade Cylinder BCB'C' also offenbar gleiche Mäntel haben, so dass folglich, wenn wir die Mäntel dieser beiden Cylinder respective durch M und bezeichnen, M = M ist. Die Grundflächen des geraden Cylinders BCB'C' sind aber Ellipsen, deren grosse und kleine Axen, wenn die Halbmesser der Grundflächen des schiefen Cylinders durch r, und der Neigungswinkel seiner Axe gegen seine Grundflächen durch J bezeichnet werden, wie sogleich in die Augen fallen wird, respective 2r und 2r sin J sind. Die Höhe des geraden Cylinders BCB'C' ist der Seite s des schiefen Cylinders ABA'B' gleich. Bezeichnen wir nun den Perimeter einer Ellipse, deren Axen überhaupt a, b sind, durch Per. Ell. (a,b), so ist offenbar m=s.{Per. Ell. (2r, 2r sin J)}; also nach dem Obigen auch, Ms. Per. Ell. (2r, 2r sin J)}. Ist nun aber h die Höhe des schiefen Cylinders ABA'B', so ist h = ssin J, und folglich oder 2r: 2r sin J=s:h=1: sin J, 2r:s 2r sin J: h. Daher sind zwei Ellipsen, welche die grossen und kleinen Axen 2r, 2r sin J und s, h haben, einander ähnlich, und es ist folglich offenbar auch also Per. Ell. (2r, 2r sin J): Per. Ell. (s, h)= 2r:s,' 2r Per. Ell. (2r, 2r sin J)=(Per. Ell. (s, h)}. Führt man diesen Werth von Per. Ell. (2r, 2r sin J) in den obigen Ausdruck von M ein, so erhält man sogleich M=2r. Per. Ell. (s, h)}, d. h. der Mantel eines schiefen Cylinders mit kreis fürmiger Basis ist einem Rechtecke gleich, dessen Grundlinie und Höhe der Durchmesser einer seiner beiden gleichen Grundflächen und der Perimeter einer mit seiner Seite und Höhe als Axen beschriebenen Ellipse sind; welches der Ausdruck ist, auf den Brinkley die Bestimmung des Mantels eines solchen Cylinders gebracht hat. Bemerken will ich nur noch, dass man bei der obigen Darstellung auch die Anwendung der Trigonometrie oder vielmehr Goniometrie, d. h. den Gebrauch des durch sin dargestellten Verhältnissexponenten, leicht ganz vermeiden kann. Die grosse und kleine Axe der Grundflächen des geraden Cylinders sind nämlich offenbar AB und BC, also ganz wie oben M=s.{Per. Ell. (AB, BC)}, und folglich, weil MM war, auch M=s.{Per. Ell. (AB, BC)}. Aus einer ganz einfachen Betrachtung der ähnlichen Dreiecke ABC und BB'D folgt aber augenblicklich AB: BC=BB' : B'D=s: h oder AB:s BC: h. Folglich ist offenbar also Per. Ell. (AB, BC): Per. Ell. (s, h)=AB:s, Per. Ell. (AB, BC)==4¡Per. Ell. (s, h)¦, und daher nach dem Obigen oder oder auch MAB. Per. Ell. (s, h), -M= AB. Per. Ell. (BB', B'D)\, M=2r. (Per. Ell. (s, h), ganz wie oben, woraus denn auch wieder der obige Brinkley'sche Satz folgt. Theoretisch genommen hat übrigens der Brinkley'sche Satz nach meiner Ansicht nur wenig Werth, da er die Rectification der Ellipse voraussetzt, die ja bekanntlich nur durch unendliche Reihen möglich ist. Aber um dem Anfänger wenigstens eine deutliche Ansicht zu geben, worauf es bei der Bestimmung des Mantels eines schiefen Cylinders eigentlich ankommt, ihn überhaupt nicht ohne alle Belehrung über diesen Gegenstand lassen zu dürfen, wie bisher beim Elementarunterrichte immer geschehen ist und geschehen musste, scheint mir der Brinkley'sche Satz in der That sehr geeignet zu sein. Vielleicht werden auch andere Lehrer denselben künftig bei'm Elementarunterrichte zu benutzen und in denselben einzuführen angemessen finden. Der Umfang einer Ellipse lässt sich ja wenigstens mechanisch mittelst eines um dieselbe gelegten Fadens messen, was man in der Praxis vielleicht selbst seiner Berechnung aus den beiden Axen vorziehen dürfte. Die Formel für den Mantel des geraden Cylinders folgt übrigens leicht aus dem Brinkleyschen Satze, da für diesen Cylinder s=h ist, also Ell. (s, h) in Ell. (h, h), d. h. in den mit der Höhe h als Durchmesser beschriebenen Kreis übergeht, folglich Per. Ell. (s, h) = hã, und daher nach dem Obigen M=2r.hл=2rhx=2rx.h ist, welches ganz mit dem aus den Elementen allgemein bekannten Ausdrucke übereinstimmt. XXII. Ueber einige bestimmte Integrale. Von dem Herrn Doctor F. Arndt, §. 1. Die ganze Untersuchung, welche ich im Folgenden anstellen werde, basirt sich auf die Werthbestimmung des Integrals wo p>0 ist. Offenbar muss dasselbe einen bestimmten endlichen Werth haben, für den man, ähnlich wie beim Integrallogarithmus, eine convergirende Reihe erhalten kann. Setzt man nämlich für cosa die bekannte Reihe, multiplicirt dieselbe mit integrirt, und macht der Kürze halber дх Ꮖ Hier tritt nun bei Bestimmung der Constante C1 dieselbe Schwierigkeit wie bei der des Integrallogarithmus ein, indem der Werth ) mittelst der Reihe (a) deshalb nicht bestimmt werden kann, weil alle Glieder unendlich werden. Die folgende Untersuchung wird lehren, dass diese Constante C merkwürdigerweise die des Integrallogarithmus ist, was man noch nicht bemerkt zu haben scheint. Um die Identität der beiden in Rede stehenden Constanten darzuthun, stellen wir jede derselben durch ein bestimmtes Integral dar, was für den Integrallogarithmus schon geschehen ist, hier aber nothwendig mit aufgenommen werden muss. Theil X. 15 |