1 1 (-1)m-1 x(x) = 1.2....(m—1) [lx — — x + m (m + 1) · } x2 y(x)=1.2.....(m—1) m m(m+1)' 1 m(m+1) (m+2) · } .x3 + ...] für einen bestimmten endlichen Werth - Cm-1 erhält, der vermöge der Gleichung (b) bestimmt werden kann. Mit Hülfe der Entwickelung von e- und findet man nämlich leicht Die Aufgabe ist nun, diese Zahl durch ein bestimmtes Integral auszudrücken. wo die Form α1p+αp2 + αzp3 + hat, also für p=0 verschwindet. Nun lassen sich alle Glieder linker Hand, vom zweiten an, durch bestimmte, von bis p sich ausdehnende Integrale ausdrücken. Denn man hat offenbar дх x (1+x)='p−1(1+p), folglich nach dem Vorhergehenden : u. S. W. 1.2 ̊xm-2+ etc. + (-1)m-1 =Cm-1 + Σ. Lässt man sich in dieser Gleichung p der Null nähern, wobei Σ und 7(1+p) zum Verschwinden kommen, so erhält man die merk würdige Gleichung: wo Cm- eine numerische Constante bedeutet, die nach (d) berechnet wird. Zu bemerken ist noch, dass diese Gleichung für m=1 eine Modification erleidet; es kommt nämlich, wenn man die obige Betrach tung für diesen Fall aufmerksam verfolgt, und beachtet, dass Co die Constante des Integrallogarithmus (c) ist: In dem Falle m-2 endlich kommt das Glied gar nicht vor; es ist vielmehr 1 (-1)m-1 1.2....(m-2) x Was die Werthe C1, C2, C3, u. s. w. betrifft, so kann man aus (d) leicht eine Recursionsformel dafür entwickeln. Bezeichnet man nämlich die absoluten Werthe derselben durch kleine Buchstaben, 1 1 1 'm' 1.2....m' oder 1 (cm−1 +1.2....m). Da C=0,577215664901 ist, so findet man C=0,577215664901, c1 =0,422784335099, C3=0,209352944735 u. S. W. Diese Zahlenreihe nimmt ziemlich schnell ab; übrigens ist mit Ausnahme von C die Zahl c2 am grössten, von c2 an aber findet fortwährende Abnahme statt, wovon man den Grund leicht einsehen wird. Die Substitution dieses letzten Ausdrucks in den vorhergehenden giebt die Reductionsformel Durch die Entwickelung von cos p, sinp und man das Integral linker Hand von folgender Form: dx findet 4 +alp+b2p2+b.p2+ etc., (B)... C'qm= 1 2m (1 + + + ... + C); die übrigen Coefficienten findet man einfacher durch die unbe stimmte Integration des Differentials + 1 1 1.2....4 (2m-4) p2m-4+ etc. + 1.2....(2m-2) 2p2 1 2mp2m 1.2 (2m—2)p2m lp durch bestimmte Integrale aus, die sich von bisp ausdehnen, bringt dieselben auf die linke Seite, und lässt dann p sich der Null nähern, so erhält man: Die absoluten Werthe der Grössen C2m sind, wie aus (B) erhellt, mit den Grössen cam identisch. Da die Betrachtungen in Bezug auf dieses Integral den vorhergehenden ganz analog sind, so darf ich mich jetzt kurz fassen. sin p + + (2m-1) p2m-1 (2m-2) (2m-1)p2m cosp (2m−3) (2m−2) (2m—1) p2n−3 † (2m-4)(2m—3).... (2m −1)p2m Ueber eine gewisse Klasse bestimmter Integrale, bei welchen die Function unter dem Integralzeichen für einen Werth der Veränderlichen zwischen den Integrationsgrenzen unendlich wird. Von dem Herrn Doctor F. Arndt, Lehrer am Gymnasium zu Stralsund. Im VII. Bande des Archivs p. 270 ff. hat sich Herr Professor Schlömilch mit den bestimmten Integralen : 0 cos bx dx |