Durch Subtraction und Addition der Formeln (3′) und (4′) erhält man leicht:

น

v

C

Für 1 gehen die Formelu (5), (6), (5′);' (6') in die von Schlömilch im Archiv und im Crelle'schen Journal angegebenen über, was ich bereits oben angedeutet habe.,

Schliesslich will ich bemerken, dass die beiden Integrale

mit denen Schlömilch sich im Crelle'schen Journal ebenfalls beschäftigt hat, unbestimmt wie die vorhergehenden sind. Ich werde sie in einem nächsten Aufsatze einer besondern Untersuchung unterwerfen.

Da bei beiden Integralen Unterbrechung der Stetigkeit für x=a eintritt, so müssen wir jedes derselben in zwei andere zerlegen, deren eines sich von x=0 bis xa-u, das andere von x=a+v bis x erstreckt, und die Grenze der Summe für u=0,

2a 1 1 x2-a2 x a x+a' x2-a2 x-a

dass es hier nur auf die Entwickelung fol

gender drei Integrale ankommt:

Was das erste betrifft, só erhält man, x-a=

Sebudy

Θ

"u e-b(a-y) dy

=e-ab

=e--ab

a

a y

Sub etay

ab y

x + a

y gesetzt, Dies Integral

ist nur durch Reihen entwickelbar; am einfachsten setzt man, um

y2

eine solche Reihe zu erhalten, für e die unendliche Reihe 1+y+ 1.2

+ etc., und integrirt zuerst unbestimmt; wird zur Abkürzung

Uebrigens sieht man aus dieser Gleichung, dass das Integral

a e-bx dx

=

x-a

wird.

Dies Integral ist bekanntlich der Integrallogarithmus von e-bu, und

man hat

woraus man sieht, dass das Integral e-bra

a x-a

+ wird. Die Addition der beiden Ausdrücke (1) und (2) giebt

2

für u=0, v=0 wird offenbar p(ub) — li (e—dv) ='¿l. (“) *— C,

Subtrahirt man nun (4) von (3), so entsteht:

WO

die Addition von (3) und (4) giebt dagegen

-bx dx 2

2

(6)...2 ƒ =e—a3 [¿1. ('') '* — C— 4(ab)] — cab li (e−ab).

Setzt man jetzt mit Schlömilch

so ist offenbar C+y(ab)=Ei(ab), li(e−ab) = Ei (— ab), und die Gleichungen (5), (6) nehmen folgende Gestalt an:

(8)

....

xe -bx dx

x2-2

—e—as ['¿l. ('"' )* — Eï(ab)]—eab Eï(— ab).

Die Integrale sind folglich beide unbestimmt; setzt man das Ver

hältniss =1, so gehen die Ausdrücke in diejenigen über, welche

v

Schlömilch im 33sten Bande des Crelle's chen Journals p. 328. gegeben hat.

Schliesslich verdient noch Folgendes bemerkt zu werden.

und diese Function n Ei (ab) übergeht, wenn man ab negativ setzt, so könnte man sich veranlasst sehen, Ei (ab) = li(eab) zu setzen; allein dies ist fehlerhaft, indem der Integrallogarithmus einer die Einheit übersteigenden Grösse wiederum unbestimmt ist.

Um dies darzuthun, sei das Integral

zu ent

x

wickeln, wo p positiv ist. Da für x=0 Unterbrechung der Stetigkeit statt findet, so setze man

wo u, v beliebig kleine positive Grössen sind. Man hat dann

wo Σ für u=0, v=0 verschwindet. Daher hat man

Hier ist nun er grösser als die Einheit, und der Integrallogarithums einer die Einheit übersteigenden Grösse ist folglich unbe stimmt, da zwischen u und v keine Abhängigkeit irgend einer Art besteht. Ich habe diese Bemerkung hier gemacht, weil Schlömilch an verschiedenen Stellen des Archivs solche Bezeichnungen wie li(er), (p>0) angenommen hat. Der obigen Ansicht ist auch Minding. Auf p. 193. (Handbuch der Differential- und Integralrechnung. Berlin. 1836.) sagt er ausdrücklich:,, Folglich ist auch das vorliegende Integral) zwischen den Grenzen 0 und x', sobald x'>1, unbestimmt."

XXVI.

Ueber einen von Gauss gefundenen Ausdruck der Gammafunction.

Von dem

Herrn Doctor F. Arndt,

Lehrer am Gymnasium zu Stralsund.

In der berühmten Abhandlung:,,Disquisitiones generales circa seriem infinitam