+ m u. S. W. K(α1, α2, αz, α, .... αn−1) und es ist folglich nach II. (-1). An-m= + m K(αg, αz, α4, α5,......ɑn) ans + + + K(α1, α2, αz, α 4,....αn-1) (αn-α1)(αn-α2)(αn—αz)(αn—α4).... (αn-αn-1) an, ein völlig independenter Ausdruck für jede beliebige der gesuchten n unbekannten Grüssen. Bemerkt mag noch werden, was sich übrigens auch nach dem Vorhergehenden eigentlich schon von selbst versteht, dass Auf diese Weise sind die gegebenen n Gleichungen des ersten Grades vollständig und völlig independent aufgelöst. Zu gleich enthält das Obige verschiedene bemerkenswerthe arithmetische Sätze, von denen der eine von uns besonders hervorgehoben worden ist; die übrigen wird der aufmerksame Leser gewiss auch ohne besondere Erinnerung nicht unbeachtet gelassen haben. XXX. Ueber einige Sätze der Zahlenlehre. Von dem Herausgeber. Aus den in der vorhergehenden Abhandlung bewiesenen allgemeinen arithmetischen Theoremen lassen sich verschiedene bemerkenswerthe Sätze von den Zahlen ableiten, von denen ich einige in dem vorliegenden Aufsatze entwickeln will, ohne jedoch für jetzt die Absicht zu haben, diesen Gegenstand zu erschöpfen. Wenn wir der Kürze wegen jetzt In= 19 IIn=(αn—α2) (an−α2)(an−α3)(ɑn—α4) .... (ɑn—an-1) setzen; so ist in der in der vorhergehenden Abhandlung gebrauchten Bezeichnung J lauter (positive oder negative) ganze Zahlen bezeichnen, und u+1 eine in keiner dieser Zahlen aufgehende positive Primzahl ist, so ist, wenn A1, A2, A3, hq, .... An gewisse positive ganze Zahlen bezeichnen, nach dem Fermat'schen Satze Weil nun aber, wie in der vorhergehenden Abhandlung gezeigt worden ist, Setzen wir jetzt un-1, so dass also n eine in keiner der ganzen Zahlen "1, 2, 3, α4,.... an aufgehende Primzahl ist, so wird die vorhergehende Gleichung, weil, wie in der vorhergehenden Abhandlung gezeigt worden ist, und die Primzahl n geht also hiernach unter den gemachten Voraussetzungen jederzeit in dem Producte und nach dem Satze des Euklides von den Primzahlen kann die Primzahl n in dem Producte aufgeht; also ergiebt sich aus dem Obigen unmittelbar der folgende Satz: I. Wenn die positive oder negative Primzahl n in keiner der positiven oder negativen ganzen Zahlen a1, ag, az, αq,.... α(n) aufgeht, wo jetzt (n) den absoluten Werth von n bezeichnen soll; so geht diese Primzahl n jederzeit in dem Producte Trivia (α-α2) (α-α3) (α1 —α4).... (α1—a(n)) (αg-αg) (α-α4) ........ (αq—α(n)) (αz-α4).... (αz—α(n)) u. s. W. auf. (a(n)-1-a(n)) Um ein Beispiel zu geben, so sei n = 5 und Dann ist α=+12, a1⁄2=—6, az=−9, α=+8, α=+4. woraus auf der Stelle die Richtigkeit des Satzes in dem vorliegenden speciellen Falle erhellet, da 5 in 10 aufgeht. 20 Theil X. |