worauf ein grösseres plus folgt, so wird der Winter ein gelinder werden. Wird das erste, längere oder kürzere minus nur durch ein kurzes plus unterbrochen, so wird der Winter streng ausfallen. Dies ist ein schwacher Versuch, um aus dem Anfange des Winters auf den weitern Verlauf zu schliessen, was meines Wissens bis jetzt auf ähnliche Weise noch nicht geschehen ist. Ob die Erfahrung künftig die Wahrheit der aufgestellten Analogieen bestätigen wird oder nicht, steht dahin; im erstern Falle würde ich die Resultate elfjähriger Erfahrung auf eine bestimmte und fruchtbringende Weise gedeutet haben.

XXXII.

Mein letztes Wort gegen Herrn Doctor Barfuss.

Von dem

Herrn Professor Dr. O. Schlömilch

an der Universität zu Jena.

,, Spät kommt Ihr, doch Ihr kommt; der weite Weg, Graf Isolan', entschuldigt Euer Säumen.“

Ich habe mich beim Lesen der nochmaligen Einreden des Herrn Dr. Barfuss verschiedene Male gefragt, ob denn eigentlich meine Wenigkeit es ist, wogegen dort polemisirt wird, denn in der That hätte ich es kaum für der Mühe werth gehalten, auf solchen Unsinn zu antworten, wie ihn Herr Dr. Barfuss (höchst siegreich natürlich) widerlegt. Der Grund dieser Verwunderung liegt aber sehr einfach in der wirklich originellen Taktik, die der Herr Doctor gegenwärtig anzunehmen sich erlaubt hat und die freilich der Art ist, dass mit ihr auch ein Drieberg über einen Humboldt- nicht den Sieg davon tragen aber wohl zu schimpfen Gelegenheit finden würde. Das schlaue Manövre besteht nämlich darin, alles, was einem unbequem wird, mit völligem Stillschweigen zu übergehen, dafür aber dem Gegner so viel Unsinn als möglich in die Schuhe zu schieben, je toller, desto besser, denn auf Wahrheit kommt's gar nicht mehr an, und nun am Ende sich über die ungeheure Bornirtheit des anderen lustig zu machen. Auf die Dauer wird freilich diese Kunst nicht vorhalten, denn hat es auch der Eine mit noch so viel Glück und Geschick versucht,

Theil X.

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den Anderen lächerlich zu machen, so wird doch eine einfache Darstellung des wahren Sachbestandes hinreichen, um Jenen an den verdienten Pranger der öffentlichen Meinung zu stellen. Diese Bemerkungen sind es einzig und allein, welche mich zur Redaktion der nachfolgenden wenigen Zeilen bewogen haben; ich will nur mit wenigen Worten auseinandersetzen, was ich eigentlich gemeint habe und was Herr Dr. Barfuss aus meinen Worten gemacht hat; das Uebrige ergiebt sich dann von selbst.

Es ist eine bekannte Sache, dass durch mehrmaliges Vorkommen einer Erscheinung nur die Möglichkeit, aber nie die Nothwendigkeit derselben bewiesen wird; 100 Beispiele für eine Regel (etwa die regula falsi) beweisen nur, dass dieselbe richtige Resultate liefern kann; ein einziges Beispiel aber, in welchem die Regel nicht trifft, reicht hin, um ihre Unsicherheit (Nichtallgemeingültigkeit) zu begründen. So habe ich a posteriori aus den Consequenzen, welche sich an die Gleichungen

knüpfen, die Unsicherheit der Rechnung mit divergirenden Reihen dargethan; ich habe ferner gezeigt, dass der einzige Weg, um aus diesen Irrthümern des Calculs herauszukommen und sich vor künftigen zu hüten, darin besteht, die Begriffe der arithmetischen Summe und der syntaktischen Entwickelung durch besondere Zeichen auseinander zu halten; das Erste war eine vollendete Thatsache, denn nur ein Blinder konnte die Resultate der mitgetheilten Rechnung leugnen und nur ein Wahnsinniger sie richtig finden, das Zweite war ein Vorschlag, und gewiss ein beachtungswerther. Würde nicht der Geometer die Hände über dem Kopfe zusammenschlagen, wenn man Gleichheit mit = und dann Aehnlichkeit auch mit bezeichnen wollte? Nun nennen wir aber Summe einer Reihe die Gränze, welcher man sich nähert, wenn man immer mehr Glieder einer Reihe addirt und wir beweisen, dass man die Summe der ins Unendliche verlängerten Reihe gleich setzen darf. Bei einer divergirenden Reihe wie 1-1+1-etc. giebt es keine solche Gränze, also keine arithmetische Summe und wer jetzt dies einer bestimmten Grösse gleich setzt, bringt eine eben so heillose Confusion in die Analyse, wie einer, der Gleichheit und dann auch Aehnlichkeit mit bezeichnet, in die Geometrie. Was erwidert nun Herr Dr. Barfuss auf alles Diess? Nichts! Die Thatsachen ignorirt er, auf den Vorschlag findet er sich nicht bewogen einzugehen, aber halt, er bringt ein Beispiel, worin die Rechnung mit divergenten Reihen etwas Richtiges giebt. Lächerfiche Polemik! als wenn ich je geläugnet hätte, dass unter Umständen bei solchen Rechnungen etwas Richtiges herauskommen könnte, dann nämlich, wenn die Reihen der Ärt sind, dass sie innerhalb eines, wenn auch kleinen Intervalles convergiren. Diess ist in des Herrn Doctors Beispiele der Fall, die Reihen 1-x+x2 etc., 1-2x+3x2 etc. convergiren für <1, und da das unter dieser Bedingung gefundene Resultat eine blos identische Transformation

-

ist, so gilt dasselbe unabhängig von seiner Herleitungsweise, aber man darf diess nicht umkehren (Umkehrungen müssen ja immer bewiesen werden) und daraus schliessen wollen, dass 1−1+1....=}, 1−2+3¬sei etc. Weit entfernt also, dass hier Herr Dr. Barfuss etwas gegen mich vorbringt, bestätigt er vielmehr einen der von mir aufgestellten Sätze (dass solche Reihen, welche innerhalb eines Intervalles convergiren, richtige Resultate geben), den Hauptsatz aber, dass Reihen, die jederzeit divergiren, wie

gar nicht.

auch immer falsche Resultate liefern, trifft das Alles Ich will hier noch eine Bemerkung einschalten, welche das Phantom einer syntaktischen Bedeutung der Reihen völlig vernichtet. Man könnte sagen: allerdings sind z. B.

nur für 1 einander gleich, aber jenseit dieser Stelle tritt die syntaktische Verwandtschaft ein; dem gegenüber will ich zeigen, dass über die Stelle hinaus, wo die Reihe divergent wird, zwischen ihr und der Funktion links durchaus keine Beziehung mehr statt findet. Es sei (x) eine Funktion, welche von x=0 bis x=a stetig bleibt, hier aber diskontinuirlich wird. Dieser Beweis beruht auf einer Eigenthümlichkeit des Ausdruckes :

worin (x) eine ganz willkührliche Funktion bezeichnet. Erinnert man sich, dass

Verwandelt man (x) in eine Reihe von der Form

und die Coeffizientenbestimmung geschieht also mittelst des Wer thes x=0; daraus folgt, dass, wenn man

f(x)=Bo+B+Bo+...

setzt, Bo=4, Bi A1,.... sein muss, weil für x <a, mithin auch für x=0, die Funktionen f(x) und g(x) zusammenfallen. Gilt also die Gleichung (D), so gilt auch die folgende:

Sollte nun die Gleichung (D) über x=a hinaus noch irgend eine Bedeutung haben, d. h. sollte die Reihe in irgend einer Be ziehung zu p(x) stehen, so müsste diess in der Gleichung (©) ebenso der Fall sein, weil hier dieselbe Reihe vorkommt. Für x> a reduzirt sich aber die linke Seite von (O) auf y(x), und daher haben wir den Satz: wenn für xa eine Beziehung zwischen · ́Á + A2 x + А2x2+.... und der Funktion (a) statt finden soll, muss dieselbe Beziehung zwischen 4o+4x+etc. und (x) vorhanden sein. Nun ist aber (x) eine von q(x) verschiedene und völlig willkührliche Funktion und zwischen einer solchen und einer ganz bestimmten Reihe (d. h. einer solchen, deren Coeffizienten unveränderliche Werthe haben) kann überhaupt gar keine Beziehung statt finden, eben weil durch die Willkührlichkeit von v(x) jede etwa statuirte Beziehung sogleich aufgehoben werden kann. Da nun zwischen (x) und der Reihe kein Zusammenhang möglich ist, so giebt es auch keinen zwischen (a) und der Reihe, sobald aa genommen wird. Dass aber gleichzeitig die Reihe divergirt, weiss man a priori aus dem Cauchy'schen Satze, denn der Modulus von a ist hier grösser als der Modulus a desjenigen æ, für welches p(x) eine Unterbrechung der Continuität erleidet.

Wenu sich nun bei dem Streite über die Zulässigkeit divergenter Reihen Herr Dr. Barfuss darauf beschränkt, die Hauptsachen unerörtert zu lassen und gegen Dinge zu eifern, die ich von allem Anfange her zugegeben habe, so tritt dagegen die wirklich entsetzliche Erbärmlichkeit seiner Polemik da in ihrer ganzen Glorie auf, wo er gegen das Resultat

zu Felde zieht. Bis hieher hatte der Streit von seiner Seite doch noch einigen Schein von Ehrlichkeit, hier aber fängt er an, sich solcher Waffen zu bedienen, mit denen man, um einen gelinden Ausdruck zu brauchen, seine Moralität in ein zweideutiges Licht stellt. Ich bitte zu vergleichen. Meine Frage war: ist

lx+C oder (x2)+C.

und ich habe darauf geantwortet: sowohl lr als (2) befriedige = aber da la und l(x2) ver

die Differenzialgleichung dy =

dx

x

schiedene Funktionen sind, SO muss man aus anderen Eigenschaften des Integrales jene Frage entscheiden. Nun ist aber

und folglich muss, wenn p(x) den von z abhängigen Theil des Integrales bezeichnet, p(x)=(x) sein. Man kann daher nicht p(x)=lx setzen, weil dann diese Eigenschaft nicht statt fände, sondern muss q(x)=(x2) nehmen. Hier behauptet nun Herr Dr. Barfuss, ich suchte das Imaginäre dadurch zu vermeiden, dass ich sagte (-1)=(-1)2==0, und fragt mich nachher, ob ich nicht wüsste, dass log(-a) und (-a)2 verschiedene Funktionen seien!! Wirklich, ich traute meinen Augen kaum, als ich das sah! Nachdem ich ausdrücklich in meiner algebraischen Analysis bemerkt habe, dass lx und (x2) zwei sehr verschiedene Funktionen sind *), nachdem ich eben wegen ihrer Ver

dx

schiedenheit die Frage, ob de

Ꮖ

=

lx oder (x2) sei, aufgeworfen hatte (denn sonst wäre sie überflüssig gewesen), werde ich von Herrn Dr. Barfuss des Unsinnes beschuldigt, (a) und (-a)2 nicht unterscheiden zu können! Nun sind aber nur zwei Fälle möglich entweder hat Herr Dr. Barfuss meine Exposition aus Mangel an Fassungskraft nicht verstanden, oder er hat sie nicht verstehen wollen. Im ersten Falle verbietet es mir die Beschränktheit meiner Zeit, diese Polemik zur Belehrung des Herrn Dr. Barfuss weiter fortzusetzen, im zweiten halte ich es unter meiner Würde, noch ein ferneres Wort an ihn zu verschwenden.

S. 163. heisst es: „,7% und /(%2) sind ganz verschiedene Funktionen von %, die wohl für positive s übereinstimmen, aber nicht für negative u. 8. w. Construirt man beide Funktionen geometrisch, so hat die der ersten Funktion entsprechende Curve nur einen Zweig. die andere zwei congruente Zweige. Es ist daher nicht für jedes %, l(x2) =2/%." Kann man sich deutlicher über die Verschiedenheit von l≈ und (32) aussprechen?