XXXIII. Ueber einen Satz vom Tetraeder. Von Herrn C. G. Flemming, Lehrer am Conradinum zu Jenkau bei Danzig.” Lehrsatz. Halbirt man die sechs Kanten des Tetraeders und legt durch jeden Halbirungspunkt eine Ebene senkrecht gegen die gegenüberliegende Kante, so schneiden sich diese sechs Ebenen in einem Punkte, welcher mit dem Schwerpunkte des Tetraeders und dem Mittelpunkte der um das Tetraeder beschriebenen Kugel auf einer geraden Linie liegt, und der Schwerpunkt liegt in der Mitte der beiden andern. I. Analytischer Beweis. Wenn ein Tetraeder mit einer Ecke in dem Anfangspunkte eines rechtwinkligen Coordinatensystems liegt und die Coordinaten der andern drei Eckpunkte x'y'z', x" y" z", x""y" z"" heissen, so sind, wie man durch Betrachtung ähnlicher Dreiecke leicht sieht, die Coordinaten der Mittelpunkte seiner Kanten: \x′, ly', it'; \x", ly′′, 1⁄2-1⁄2′′; ÷x", \y′′, !=""; 22 }(x' +x"), }(y′+y′′), ¿(z′+z′′); {(x'+x'''), }(y′+y"), ś(z′+z′′); {(x"+x"), \(y′′+y′′′′); ¿(z′′+z′′). Als Gleichungen für die Projectionen der Kanten des Tetraeders auf die az und yr Ebene erhält man folgende: Die sechs ersten dieser Gleichungen gehören zu den Kanten, welche durch den Anfangspunkt gehen, die sechs letzten zu den drei übrigen Kanten. Um nun die Gleichungen für die Ebenen aufzusuchen, von denen jede durch den Mittelpunkt einer Kante geht und senkrecht auf der gegenüberliegenden Kante steht, muss man sich erinnern, dass, wenn eine Linie auf einer Ebene senkrecht steht, auch die Projectionen der Linie senkrecht auf den Schnitten jener Ebene mit den Coordinatenebenen sein müssen. 1st nun die Gleichung der Ebene die Gleichungen für die Schnitte derselben mit der rz und yz Ebene. Es seien ferner x=az+b und y=a'z+b' die Gleichungen für die Projectionen der Linie auf diese Coordinatenebenen, so müssen, wenn diese auf jenen senkrecht stehen sollen, die Bedingungsgleichungen statt finden. Setzt man diese Werthe für A und B in die Gleichung der Ebene hinein, so erhält man als Gleichung für die Ebene, welche auf der gegebenen Linie senkrecht ist. Soll sie ausserdem noch durch einen Punkt, dessen Coordinaten p, q, r sind, gehen, so müssen auch diese der gefundenen Gleichung genügen und daher sein. Zieht man diese Gleichung von der vorigen ab, 80 erhält man a(x-p)+a' (x−q) + (z—r)=0 als Gleichung für die Ebene, welche sowohl senkrecht auf der gegebenen Linie ist als auch durch den Punkt pqr geht. Setzen wir nun für por die oben angegebenen Ausdrücke für die Coordinaten der Mittelpunkte der Kanten, und für a und a' die Ausdrücke aus den Gleichungen der entsprechenden gegenüberliegenden Kante, so erhalten wir als Gleichungen für die in Rede stehenden sechs Ebenen, nachdem wir sie nach xyz geordnet haben, folgende: (1) x'x+y'y+z′z={{x'(x"+a")+y'(y"+y′′)+z′(z′′:+z2′′)}, (2) x′′x+y′′y+z′′z=!{x"(x′+x′′)+y′′(y′+y′′)+z′′ (z′ +z′′)}, (3) x""x+y"y+z"z=}{a"(x'+x")+y" (y′+y′′) +z""(z′+z′′)}; (4) (x'—x")x+(y′—y′′)y+(z'—2′′)z={{x" (x'—x")+y"(y'—y′′) : (5) (x'—x")x+(y′-y′′)y+(z'—z′′)z=} {x"(x'—x")+y"(y'—y′′")} (6) (x"—x")x+(y"—y′′)y+(z′′—2′′)z={{x′(x"—x")+y′(y"—y" Um den Term rechter Hand zu vereinfachen, wollen wir folgende Substitutionen machen: Man sieht nun sogleich, dass die drei letzten Gleichungen von den drei ersten abhängen, indem man diese erhält, wenn man suc cessive die zweite von der ersten, die dritte von der ersten und die dritte von der zweiten abzieht. Da wir also nur drei unabhängige Gleichungen haben, so muss es für jede der Coordinaten xyz einen Werth geben, welcher alle sechs Gleichungen befriedigt, oder die durch diese Gleichungen ausgedrückten Ebenen müssen sich in einem Punkte schneiden. 3 Wir wollen nun die drei ersten Gleichungen auflösen, um die Coordinaten des Schnittpunktes jener sechs Ebenen zu bestimmen. Damit die Rechnung vereinfacht werde, werden wir setzen: 2 x'2 + y'2 + z'2=α′, y′′z" —z"y"=§′, z′′x" —x′′z′′′′=n', x"y" —y"x"=5', y'x" — x'y""={", x'y" —y'x"={"", x'y"z" +y'z′′x""'+z'x"y". +z'x"y" — x'z"y" — y′x"z" — z'y′′x" — λ, und uns einiger von den Relationen bedienen, welche Lagrange zwischen diesen Grössen aufgestellt hat, nämlich: Durch Elimination und Anwendung der fünf ersten Relationen erhalten wir für die Coordinaten des Schnittpunkts Diese Ausdrücke lassen sich vermittelst der Relationen unter (6), (7) und (8) noch auf eine andere Form bringen, in welcher sie für unsern Zweck brauchbarer sein werden, nämlich: Wir wollen jetzt zur Bestimmung des Mittelpunktes der um das Tetraeder beschriebenen Kugel übergehen. Dieser Punkt hat die Eigenschaft, dass er von jedem der vier Eckpunkte des Tetraeders gleich weit entfernt ist. Nennen wir diese Entfernung s, so finden, wie man sogleich sieht, folgende Gleichungen Statt, wenn pqr die gesuchten Coordinaten sind: p2 + q2 + r2 — 2px' —2qy' —2rz′ =s2—a', p2 + q2 + r2 — 2px" -2qy" - 2rz′′ =s2 — a′′, p2 + q2 + r2 — 2px" -2qy" - 2r2"—§2—a”. = Zieht man nach einander jede der drei letzten Gleichungen von der ersten ab, so erhält man: Durch Elimination und Anwendung der obigen Relationen ergeben sich für die gesuchten Coordinaten folgende Werthe: |