also durch Substitution der Reihen für die einzelnen Differential coefficienten von f(x) also, wenn man den Coefficienten von ha in dieser Reihe demje nigen in der Reihe für Jun af (x) i=n Ξ Σ 1 Ən-iui дх i=o II(n-i) dxn-i' (11). durch die ursprünglichen Functionen u, u,...Un дх auszudrücken. Die Formel (11) giebt nach und nach: Gesetzt nun, diese Formel sei für alle Differentialcoefficienten der Functionen u, uz,....Un-1 und für die Function un bis zum mten Differentialcoefficienten inclusive bewiesen, so substituire man die Əm+n-iui Werthe, welche dieselbe für d.xm+n-i giebt, in der aus (11) her Für ein constantes geht i von A bis n; wenn man daher die Ordnung der Summationen vertauscht und dann iλu setzt, so wird Somit wäre die Richtigkeit der Formel (12) auch für den (m+1)ten Differentialcoefficienten von un bewiesen. Da die gemachten Schlüsse auch für m = 0 ihre Geltung behalten, und da die Formel (12) für n=1, 2 bereits verificirt ist, so ist ihre allgemeine Richtigkeit als bewiesen anzusehen. Wenn man nun die drei ersten der Gleichungen (12) vollständig integrirt, so erhält man dur = durch jede neue Integration wird auch eine neue arbiträre Constante Cm eingeführt, welche in allen folgenden Integralgleichungen erscheint. Man kann aber auch so integriren, dass u1, u2, etc. gleichzeitig mit verschwinden, was so viel ist, als wenn man alle übrigen arbiträren Constanten ausser C gleich Null setzt. Man kann ferner u = u = Uq··· = Ur~ 10 setzen und dann die Gleichung für und alle folgenden so integriren, dass für x=0 nur ur nicht verschwindet, sondern Cr wird, während alle folgenden Functionen ur+1, ur+2, etc. zugleich mit x verschwinden, was so viel ist, als wenn man alle übrigen arbitraren Constanten ausser Cr gleich Null setzt. Im letztern Falle braucht man nur in der Formel (12) n und λ in n +r und λ+r übergehen zu lassen, um einzusehen, dass die Folge der Functionen Ur, Ur+1, Ur+2, ur+3, etc., abgesehen vom arbiträren Factor Cr, genau mit der Folge der Functionen U, U1, Uz, uz, etc. übereinstimmt, wenn diese unter der frühern Voraussetzung, dass ,,.... zugleich mit verschwinden, berechnet sind. Wenn 7 nun den Werth bezeichnet, welchen f(x) in der Formel (10) werde, erhält, so ist nach dem Vorigen der allgemeine Ausdruck für f(x): f(x)=V(C+Gh+€2h2+Czh3 + etc.), woraus folgt, dass man, ohne der Allgemeinheit zu schaden, sämmtliche Integrationen von u an mit x=0 anfangen lassen kann, wodurch die Constanten C, C,.... als überflüssig wegfallen. Aus (12) folgt für m= Theil X. 22 1 Setzt man hierin unu.zn, so wird die Gleichung durch u theilbar und reducirt sich auf Man integrire diese Gleichungen von 0 an und substituire die Resultate in (10), so wird f(x)=Ce*(1+4h+igh2+2zh3 + etc.), wo z eine ganze rationale Function nten Grades von x ist. Wenn man nun allgemeine Formeln für die Coefficienten der Potenzen von x in dieser Function zn sucht, so sieht man sich zur Gleichung (8) zurückgeführt. Schliesslich möge erwähnt werden, dass die Gleichung x der geometrischen Aufgabe entspricht, eine ihrer Evolute ähnliche Curve zu finden, aber so, dass diejenigen Punkte der Evolute, welche bestimmten Punkten der Evolvente vermöge der Aehnlichkeit entsprechen, diesen nicht zugleich als Krümmungsmittelpunkte zugehören, sondern um einen constanten Drehungswinkel von diesen letztern entfernt sind. Bezeichnet nämlich den Winkel, den die Tangente der Evolvente mit einer festen Richtung bildet, und f(x) den zu diesem Winkel gehörenden Bogen derselben Curve, so drückt obige Gleichung aus, dass der Krümmungshalbmesser der Evolvente, d. i. der Bogen der Evolute, amal so gross sei als derjenige Bogen der Evolvente, welcher zu dem um den constanten Unterschied vermehrten Winkel der h a a Tangente gehört. Da die logarithmische Spirale stets sich selbst ähnlich und ähnlich liegend bleibt, wenn sie um ihren Pol gedreht wird, so ist ihr auch ihre Evolute in dem oben ausgesprochenen Sinne ähnlich. Indess scheint doch die Gleichung f(x) = Cek*, wo ekhk, keine ganz allgemeine Lösung der Aufgabe zu enthalten, wenn nur der reelle Werth von k berücksichtigt wird. Die transcendente Gleichung ehk hat nämlich ausser der betrachteten reellen noch unzählige imaginäre Wurzeln, so dass f(x)=ΣCek gesetzt werden darf. Man braucht nur zu zweien conjugirten imaginären Werthen von k auch für die zugehörigen arbiträren Constanten stets conjugirte imaginäre Werthe zu nehmen, um für f(x) einen reellen Ausdruck zu erhalten. Da bei dieser Lösung eine unendliche Menge arbiträrer Constanten auftreten, so liegt die Vermuthung nahe, die ganz allgemeine Lösung der Aufgabe möchte eine arbiträre Function impliciren. Sucht man die Curve, welche ihrer aten Evolute in dem obigen Sinne ähnlich ist, so wird man auf die Gleichung α 2 α-1 befriedigt wird, wo das Zeichen eine doppelte Summe bezeichnet, die sich einestheils auf den Fortschritt der ganzen positiven Zahl n von 0 bis oder 2 (je nachdem a gerade oder ungerade ist), anderntheils auf die unendliche Anzahl von zusammengehörigen Werthen bezieht, welche p und q vermöge der beiden ersten Gleichungen haben können, und wo A, B die zu jedem einzelnen Systeme von Werthen für n, p, q gehörenden arbiträren Constanten bezeichnen. Wenn aber die Function f(x) für ein verschwindendes h continuirlich bleiben soll, so muss die Doppelsumme auf eine endliche einfache Summe beschränkt werden, die sich nur auf den Fortschritt von n bezieht. Es muss nämlich f(x) = ΣCekrz gesetzt werden, wo r eine Wurzel der Gleichung ra-10 und k diejenige Lösung der Gleichung ist, und wo das Summenzeichen sich auf die a Systeme von r, rh α von k, einer zugehörigen Function von und von der arbiträren Constante C bezieht. XX Uebungsaufgaben für Schüler. Von dem Herrn Professor Dr. O. Schlömilch numerisch berechnet werden kann, da bekanntlich schon Kramp eine Tafel für Es bezeichne C die Summe der Zahlen 1, 2, 3,....k, C2 die Summe der in denselben liegenden Amben, jede Ambe als Pro k k dukt betrachtet, C die Ternensumme u. s. f., überhaupt C, die |