für ihre Zeit übrigens gar nicht zu verachtenden alten deutschen Feldmesser Schwenter, Penther, Zollmann u. s. w. stehende niedere Feldmesskunst noch mancher Vervollkommnungen nicht bloss bedarf, sondern auch fähig ist. Uebrigens halte ich mich für verpflichtet, zu bemerken, dass dieser Aufsatz schon seit dem 24. März d. J. in meinen Händen ist, und nur zufällige Umstände seinen Abdruck bis jetzt verzőgert haben.

XLIV.

Untersuchungen über die Seiten und Winkel sphärischer Dreiecke, insbesondere in Bezug auf ihre Differentiale.

Dargestellt von dem

Herrn Dr. J. Ph. Wolfers,

astronomischem Rechner an der Königlichen Sternwarte zu Berlin.

§. 1. In jedem sphärischen Dreiecke ABC (Taf.. V. Fig. 4.) hat man bekanntlich folgende Gleichungen:

I) cos a = cos bcos c+ sin b sin c cos A,

II) sin a sin B=sinb sin A,

*) sin a cos B≈cosb sin c-sin b cos e cos A, II) sin A cotg B=cotg b sinc cos ccos A,

**) sin Acosb=cos B sin C+ sin Bcos Ccos a,

IV) cos A-cos B cos C+ sin Bsin Ccos a.

Die Gleichung (I) dient dazu, um die dritte Seite zu bestimımen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind. Sie ist symmetrisch und lässt sich sogleich dreifach hinschreiben, je nachdem man a, b oder e als dié gesuchte Seite ansieht. Die Gleichung (II) dient dazu, um entweder eine Seite zu bestimmen, wenn eine zweite und zwei Winkel, oder einen Winkel, wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind. Hierbei sollen aber im ersten Falle die gegebenen Winkel nicht an der Seite liegen und im zweiten die Seiten den gegebenen Winkel nicht einschliessen. Mit andern Worten, es sollen die zwei Seiten und Winkel einander gegenüberliegen. Die, Form dieser Gleichung ist zwar

sehr einfach, aber keinesweges symmetrisch in Bezug auf eine der darin enthaltenen vier.Grössen, und sie lässt sich dreifach hinschreiben. Die Gleichung (*) und die Gleichung (**) ist nicht geeignet, um für sich betrachtet aus drei gegebenen Grössen eine vierte abzuleiten, indem in jeder fünf Stücke des Dreiecks enthalten sind. Beide Formeln, von denen sich jede sechsfach_hinschreiben lässt, dienen aber sowohl zu manchen analytischen Umformungen, als auch im Verein mit den Gleichungen, welche wir mit Zahlen bezeichnet haben, um zwei gesuchte Stücke des Dreiecks auf einmal zu bestimmen.

Die Gleichung (III) lässt sich sechsfach hinschreiben und kann dazu dienen, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (b, c und A) gegeben sind, einen der beiden andern Winkel zu bestimmen. Sie ist ebenfalls nicht symmetrisch, weder in Bezug auf eine Seite, noch auf einen Winkel. Die Gleichung (IV) ist wieder symmetrisch in Bezug auf einen Winkel, und sie dient dazu, den dritten Winkel zu bestimmen, wenn die gegenüberliegende Seite nebst den beiden andern Winkeln gegeben sind. Diese Betrachtungen haben wir vorangeschickt, um uns darauf beziehen zu können, unsere Aufgabe soll aber nicht sein, aus drei gegebenen Stücken des Dreiecks die andern herzuleiten, sondern vielmehr die Differentiale der sechs Grüssen mit einander zu vergleichen.

§. 2. Die Gleichung (I) ist symmetrisch in Bezug auf a, daher wird auch das Differential von a symmetrisch ausfallen. Differentiiren wir diese Gleichung, so erhalten wir unmittelbar

+[sin ccos b-cos c sin b cos A] de + sin b sin e sin AdA;

also mit Benutzung von (*) und (II):

1) da=cos Cdb+cos Bdc + sin c sin BdA.

Diese Gleichung ist durchaus symmetrisch, da sie unverändert bleibt, wenn man b mit e und also auch B mit C vertauscht, und sin c sin B= sin b sin C ist. Die Gleichung (1) wird sich daher auch sogleich dreifach hinschreiben lassen, je nachdem man da, db oder de als unbekannt, oder vielmehr a, b oder c als abhängig veränderlich ansieht. Das zweite Differential von a wird ebenfalls durch einen symmetrischen Ausdruck dargestellt werden können. Differentiiren wir daher die Gleichung (a) noch einmal, so erhalten wir unmittelbar

B) sin adda + cos ada2

=

[cos b cosc + sin b sin c cos A] db2 +[cos bcos c + sin b sin c cos A] dc2 -2 [sinb sinc+cosb cos c cos A] dbdc +2 sin b sinc cos AdAdb +2 sinb cosc sin Ad Ade

+ sin b sin c cos AdA2,

und da nach (1)

cos ada2= cos a cos C2db2+cos a cos B2dc2+2cos a cos B cos Cdbdc +2 cos a sin B cos Csin cd Adb+2 cos a sin c sin B cos BdAdc

+cos a sin c2 sin B2dA2,

mit Hülfe der Gleichung (1)

y) sin adda = cos a sin C2db2+ cos a sin B2dc2

-2[sin b sin c+cos bcos e cos 4+cos a cos B cos C]dbdc

+2 sin c [cos b sin A - cos a sin B cos C}dAdb

+2 [sin b cos csin A

+ sin c[sin bcos A

cos a sin c cin B cos B]dAdc cos a sin c sin B2]dA2.

Aber nach (1)

sin b sin c + cos b cos e cos 4 + cos a cos Bcos C sinb sin c + cos a cos A-sin b sin c cos 42+ cos a cos B cos C

sin bcos A-cos a sin c sin B2=sin bcos A-sin b sin Ccos a sin B (II) =- - sin b cos Bcos C. (IV)

Substituirt man die eben gefundenen Werthe in die Gleichung (7) und dividirt hierauf mit sina; so erhält man

2) dda sin C2 cotg adb2+ sin B2 cotg adc2

sinb sinccos Bcos C

+2 sin A cos BdAdb + 2 sin Acos Cd Adc

d'A2.

sin a

§. 3. Um die Gleichung (II) bequemer zu differentiiren, nehmen wir die Logarithmen beider Glieder, setzen also

1

log sin a + log sin B = log sin b + log sin A,

woraus unmittelbar durch Differentiation folgt:

=

3) cotg ada+cotg BdB cotg bdb + cotg AdA.

Es ist gleichgültig, in Bezug auf welche der beiden Seiten oder Winkel man diese Gleichung auflösen will; das Resultat fällt nicht symmetrisch aus. Wir stellen daher auch nicht die Differentialgleichung zweiter Ordnung dar, theils weil nicht hervorgeht, welche drei Grössen man als urvariabel ansehen soll, theils weil das Differential zweiter Ordnung von einer Seite oder einem Winkel sich nur durch einen weitläufigen Ausdruck darstellen lässt. Um hiervon eine Andeutung zu geben, bemerken wir, dass z. B.

§. 4. Wir gehen nun zur Gleichung (III) über, haben also

sin Acotg B=cotgb sinc—cos ceos A

zu differentiiren, und erhalten unmittelbar

Diese Differentialgleichung erster Ordnung habe ich gar nicht allgemein weiter differentiirt, unten werden wir aber bei einem Beispiele Gelegenheit erhalten, das Differential zweiter Ordnung einer bestimmten Seite herzuleiten.

§. 5. Differentiiren wir die Gleichung (IV)

cos A= cos B cos C+ sin B sin Ccosa,

so erhalten wir unmittelbar

ε) sin AdA=-[sin Bcos C+ cos Bsin Ccos a] dB

-[cos Bsin C+sin Bcos Ccos adC+sin Bsin Csin ada,

also mit Benutzung der Gleichungen (**) und (II)

6) dA=

cos cd B-cos bdC+ sin b sin Cda.

Da sinb sin C=sinesin B ist, so kann man 6 mit e und B mit C vertauschen, ohne dass die Gleichung eine andere wird. Um nun das zweite Differential von A, in Bezug auf B, C und a als Urvariabele zu erhalten, differentiiren wir die Gleichung (8) noch einmal und erhalten so unmittelbar

2) sin AddA+cos AdA2=-[cos Bcos C-sin Bsin Ccos a] dB2 -[cos Bcos C-sin Bsin Ccos a] dC2 +2[sin Bsin C-cos Bcos Ccos a] dBdC

+2 cos B sin C sin ad Bda

+2 sin Bcos Csinad Cda

+ sin B sin Ccos ada2.

Da aber nach (6)

cos AdA2=cos A cos c2d B2 + cos A cos b2d C2

+2cos Acosb cos cdBdC

-2 cos A cos csin b sin Cd Bda

-2 cos A cos b sin b sin CaCda

+cos A sin b2 sin C'2da2;

so erhalten wir, wenn wir diesen Werth in () substituiren, weil

=

cos B cos C-sin B sin Ccos a + cos A cos c2

=cos A+ cos A cos c2 (IV) =-cos A sin c2,

cos Bcos C-sin B sin Ccos a + cos Acos b2 =

cos Asin 62, (IV)

sin B sin C-cos Bcos Ccos acos A cosb cos c

sin B sin C-sin B sin Ceos a2 + cos Acos a — cos Acos bcos c (IV) =sin B sin Csin a2 + cos 42 sinb sine (1)

sinb sinc, (II)

cos B sin Csin a+cos Acos csin Bsin C=sin Ccosb sinc (*)