über, und mittelst der Substitution cos y ergiebt sich jetzt:

Um die Leichtigkeit zu zeigen, mit welcher die Formeln (11), (12), (13), (14) zur Kenntniss bestimmter Integrale führen, wollen wir ein paar Beispiele entwickeln. Setzt man in No. (11)

F(22)= 1+z2

so geht das nach z genommene Integral in

S

dz #

π 1

1-2 S. (242-142) d: == 21+ s

über. Ferner ist F(tan2x)=cos2x, und folglich

wie man vermöge des Werthes von s leicht findet. Für x=1bz, r='ab, wo nun b eine positive, von Null verschiedene Grösse sein muss, findet man hieraus noch

wie man schon aus anderen Untersuchungen weiss. Nimmt man in der Gleichung (13).

1

F(22)=1+,3› f(2)==,

wodurch die Bedingung f(z) = f(x) erfüllt ist, so wird

Die Gleichung (12) giebt ferner für F(22)=1, f(x)=1:

Nimmt man nur etwas allgemeinere Formen für die willkührlichen, in unseren Transformationstheoremen vorkommenden Funktionen, so gelangt man mit der grössten Leichtigkeit zu neuen Resultaten von oft sehr eleganter Gestalt. So z. B. sei in No. (11)

Den Werth des Integrales rechts findet man sehr rasch auf folgende Weise. Sei

wie man durch die gewöhnlichen Mittel findet. Es folgt jetzt

Da aber nach der ursprünglichen Bedeutung von (k) die Beziehung (0) = 0 statt findet, so ergiebt sich Const.=0 und ❤(k) = лl(1+ ks); mithin

Eine ganz analoge Gleichung ergiebt sich aus dem Theoreme (11) für

Beide Formeln lassen sich unter der sehr eleganten Gestalt darstellen *):

die Bezeichnungen Cosr, Sinr, Tanr, Cotr eingeführt, die, so passend sie auch sind, sich nur leider nicht gut im Drucke ausnehmen. Vielleicht empfiehlt sich in dieser Hinsicht die Bezeichnung

cshpr, snhpr, tghpr, cthpr,

was sich eben so gut schreibt als drucken lässt. Der Bezeichnung sin, cos, tan, cot gegenüber dienen dann immer drei Buchstaben den goniometrischen und vier den hyperbolischen Funktionen. Auch schliesst sich diess gut an die Jacobi' she Bezeichnung der umgekehrten elliptischen Funktionen [sin am (u) wenn u= F(x,c)] an.

Für xbz, r=ab ergeben sich hieraus die etwas allgemeineren Gleichungen

Nimmt man z. B. k=1, so erhält man sogleich

hat.

wie auf anderem Wege Bidone in den Miscell. Taur. gefunden Man darf hier aber nicht 2/cos bz für Icos 2bz schreiben wollen, da diese Funktionen nur für positive cos bz, also nur von

2=

π

26

bis z=

π

26

identisch sind; eben so wenig darf man I sin 2bz durch 27 sin bz ersetzen, da beide Funktionen nur von z=0 bis

welche zuerst von Laplace gegeben wurden, hat man verschiedene Wege eingeschlagen, von denen wohl der als der einfachste bezeichnet werden kann, auf welchem man das bekannte Theorem von Fourier zu Hülfe nimmt *).

Weniger Methoden der Herleitung der Werthe von den obigen der Form nach sehr ähnlichen Integralen

welche zuerst der italienische Geometer Bidone gefunden hat, sind bekannt geworden und unter den bekannten keine, welche, was Kürze und Einfachheit angeht, der obigen zur Seite gesetzt werden könnte. Vielleicht wird deshalb die folgende Art, zur Kenntniss dieser bestimmten Integrale zu gelangen, die sich durch ihre Kürze und dadurch, dass sie bloss das bekannte Integral

als bekannt voraussetzt, empfiehlt, hier nicht am unrichtigen

Platze stehen.

Betrachten wir das Integral

dass selbiges durch Zerlegen des Nenners unter folgende Form gebracht werden kann:

Führen wir jetzt im ersten Integrale auf der rechten Seite eine neue Veränderliche ora ein, wodurch door und die Gränzen und 0 resp. in und r übergehen, so ergibt sich

Nun ist nach einem, bekannten Satze aus der Theorie der bestimmten Integrale

) Supplemente zu Klügels mathematischem Wörterbuche. Thl. I.

S. 281.

Schlömilch, Beiträge zur Theorie bestimmter Integrale. S. 39.