27 Nehmen wir 1) an, es sei R = Q2+&P3>0, so hat die Gleichung (4) nur eine reelle Wurzel, und zwar eine positive, da P 4DE und Q negative Grössen sind; also y>0, und B=y+3F giebt B2C. Daher, wenn die Gleichung (2) nur eine reelle Wurzel hat, nicht, wie Euler behauptet, nothwendiger Weise eine kleinste Ellipse sich ergiebt, sondern gar keine *). 1st nun 2) R<0, so hat die Gleichung (4) drei reelle Wurzeln, und diese lassen sich, da P<0, Q<0, folgendermassen ausdrücken: Ohne den Werth von 9 genauer zu bestimmen, bemerken wir doch, dass <30° > 0 ist. Es liegen also diese Werthe von y innerhalb der Grenzen: *) Es lässt sich aber auch zeigen, dass in diesem Falle durch die vier Scheitel gar keine Ellipse beschrieben werden kann (also dass ein Scheitel innerhalb des von den anderen gebildeten Dreiecks liegt). Denn, welches auch die Werthe von E, D, F sein mögen, so liegen die Werthe E2 der positiven Grösse C immer innerhalb der Grenzen C= und C 0. F Diese beiden Werthe geben aber für R eine negative Grösse, also auch nach der Form des Ausdrucks alle zwischen ihnen liegenden Werthe. Im ersten Falle: Werthe grösser als beide Werthe von z in (3), also keine kleinste Ellipse. Im zweiten Falle: Werthe zwischen den beiden Werthen von x in (3) liegend, also keine kleinste Ellipse. Im dritten Falle: Werthe kleiner als beide Werthe von x in (3), also eine kleinste Ellipse möglich. Es giebt also auch in diesem Falle, nicht, wie Euler meint, drei, sondern nur eine kleinste Ellipse. Folgerung 1. Ist das Viereck ein Parallelogramm, und nimmt man die Diagonalen zu Coordinatenachsen, so ist D=0, E=0, und die Gleichung (2) giebt drei reelle Wurzeln B=√C, B=−√C, B=0, von denen nur die letzte der kleinsten Ellipse entspricht. Der Flächeninhalt der Ellipse z=лsin w F VC Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist aber = also z= π = Flächeninhalt des Parallelogramms. 2. Anmerkung. Die Bestimmung der kleinsten um ein Trapez beschriebenen Ellipse beruht nur auf einer quadratischen Gleichung, wenn wir folgendermassen verfahren. Es seien (0, 0), (a, 0), (0, b), (c, b) die vier Scheitel des Trapez, so erhalten wir für alle Ellipsen: y2+2Bxy+ Cx2+2Dy+2Ex + F=0 (α <0), welche durch die Scheitel des Trapez gehen, folgende Bedingungsgleichungen: Са F=0, E= Ca, b C(a–c) 2' 26 Cac (a-c)2+262 (a2—ać+c2) C—2b4 = 0. d2Z <0 zeigt uns, welches Zeichen genommen werden muss. dC2 Führt man die Rechnung durch, so ergiebt sich auch hier, dass das Verhältniss der Fläche des Trapez zur Ellipse bloss von dem Verhältnisse der parallelen Seiten abhängt. Anmerkung des Herausgebers. Der Herr Verfasser dieses von demselben zur Aufnahme in das Archiv mir mitgetheilten Aufsatzes wünscht, dass hier in Bezug auf die Abhandlung des Herrn Professors Anger in Theil X. Nr. XV. bemerkt werde, dass der vorliegende Aufsatz bereits im Jahre 1839 geschrieben und im Bulletin de l'Académie Imp. de St. Petersbourg T. VI. No. 20.21. gedruckt erschienen sei. XIII. Miscellen. In den Berichten über die Mittheilungen von Freunden der Naturwissenschaften in Wien. Gesammelt und herausgegeben von W. Haidinger. 1847. März. Nr. 11. S. 269. hat Herr Professor Dr. Schulz von Strassnicki eine Methode zur praktischen Verzeichnung von Ellipsen, wenn deren Axen als bekannt angenommen werden, angegeben, die nach meiner Meinung, so einfach die Sache auch an sich ist, allgemeiner bekannt zu werden verdient, und daher im Nachstehenden mitgetheilt werden soll. Diese Methode gründet sich auf die folgenden Betrachtungen. Wenn ACB in Taf. II. Fig. 5. der vierte Theil einer Ellipse ist und AC=a, BC=b deren Halbaxen sind, so ziehe man AB und fälle auf diese Linie von C das Perpendikel CD. Setzen wir dann der Kürze wegen AD=v, BD=w, CD=u; so ist nach bekannten geometrischen Sätzen ie Gleichung der Ellipse ist, so ist für x=u: d. i. y=w. Nimmt man also CPCD, CP1=AD und errichtet durch P und P, die Perpendikel PQ und PQ, auf AC, so ist PQ= CD und P1Q1=BD, woraus man sieht, dass die Punkte Q und Q der Ellipse leicht gefunden werden können. Diese beiden Punkte nebst den Punkten A und B liefern aber vier Punkte des Quadranten der Ellipse, durch welche man denselben in den meisten Fällen mit hinreichender Genauigkeit aus freier Hand wird beschreiben können. Indess wird es doch der Genauigkeit gewiss förderlich sein, wenn man ausser den vorhergehenden Punkten noch ein Paar andere Punkte des Quadranten der Ellipse mit Leichtigkeit finden kann, und ich will daher der obigen Mittheilung des Herrn Professors Dr. Schulz von Strassnicki noch die folgenden Bemerkungen hinzufügen. 3 Setzt man nämlich x= 5a, so ist Theilt man also sowohl die grosse, als auch die kleine Halbaxe der Ellipse in fünf gleiche Theile, so ist für woraus sich ergiebt, dass sich immer auch die Punkte Q2 und Q, leicht durch Construction bestimmen lassen, so dass man immer sechs Punkte eines jeden Quadranten der Ellipse sehr leicht durch Construction finden kann. Hiernach würde man also bei der Verzeichnung einer Ellipse aus ihren beiden Axen auf folgende Art zu verfahren haben. Taf. II. Fig. 6. seien AA′ und BB' die beiden Axen der Ellipse In und C sei ihr Mittelpunkt, so erhält man den zwischen CA und CB liegenden Quadranten der Ellipse auf folgende Art, woraus dann auch zugleich ganz von selbst erhellen wird, wie man sich bei der Verzeichnung eines jeden andern Quadranten derselben, und somit der ganzen Ellipse, verhalten muss. Man ziehe AB und fälle von C auf diese Linie das Perpendikel CD. Dann nehme man 3 4 CP=CD, CP1=AD, CP,=AC, CP3=3AC; errichte durch die Punkte P, P1, P2, P3 auf AC die Perpendikel PQ, PQ1, P2Q2, P3Q3 und mache 4 PQ=CD, P ̧Q=BD, P¿Q2={BC, P ̧Q;=3BC; P2Q2 5 so sind Q, Q1, Q2, Q3 nebst A und B sechs Punkte des Quadranten der Ellipse, durch welche man denselben in den meisten Fällen mit hinreichender Genauigkeit aus freier Hand ziehen kann. G. Von dem Herrn Doctor J. Dienger, Lehrer der Mathematik und Physik an der höheren Bürgerschule zu Sinsheim bei Heidelberg. (a2b2—α1 α3)x+(α1b1—a2α3) y+(az2—b1b2) z=0 eine und dieselbe Ebene aus? Die vorgelegten Gleichungen sind auch: |