Das Verhältniss VII. gibt den Sinus des Winkels zwischen dem Durchmesser der Eckenkugel und der Kante. Das Verhältniss VIII. gibt den Sinus der Neigung vom Durchmesser der Eckenkugel zur Grenzfläche. Weitere Betrachtungen dürften wohl hier nicht am Orte sein; wir überlassen sie daher dem Leser. XVIII. Ueber ein paar Doppelintegrale. Von dem Herrn Professor Dr. O. Schlömilch an der Universität zu Jena. Unter den bestimmten Integralen, welche die Aufmerksamkeit der Analytiker mehrfach in Anspruch genommen haben, befindet sich eine ziemliche Reihe solcher, die unter den Formen stehen, und zwar sind dieselben desswegen von Interesse, weil es meistentheils nicht so leicht ist, convergente Reihen für ihre Berechnung aufzustellen. Es wird daher nicht ohne Interesse sein, wenn ich hier ein paar allgemeine Entwickelungen gebe, welche zeigen, dass sich die meisten jener Integrale aus den einfachsten Fällen g(x)=1, 4(x)=x, nämlich aus den sehr bekannten Formeln worin sämmtliche Constanten als wesentlich positive Grössen an. gesehen werden und f(t) eine beliebige, aber innerhalb der Grenzen t=0 bis t=c endliche und continuirliche Funktion bezeichnet. Da unter diesen Voraussetzungen die Funktion zweier Variablen innerhalb der Integrationsgränzen x 0, x=x, t=0, t=c ebenfalls endlich und stetig bleibt, so ist die Umkehrung der Integrationsfolge gestattet und demnach Man übersieht nun auf der Stelle, dass sich hier die Formel (1) anwenden lässt, sobald man das Cosinusprodukt in eine Cosinussumme zerlegt hat, aber man darf zugleich nicht übersehen, dass jene Formel ein wesentlich positives voraussetzt, und diess nöthigt uns zu einer Unterscheidung. Ist nämlich erstlich b> c, so ist auch b>t wegen der Integrationsgränzen für t, und mithin dürfen wir cos bx cos tx= cos (b+t) x + 1⁄2 cos (b − t) x setzen, wo b+t und b-t_zugleich positiv sind. Man bekommt dann unter Benutzung der Formel (1) für k=b+t und k=b-t: d. i. durch Vergleichung des ersten und letzten Werthes von S, Ist zweitens bc (aber natürlich >0), so zerlege man das von 0 bis c gehende Integral in zwei andere, welche sich von 0 bis b und von 6 bis c erstrecken; es wird dann cos bx cos tx costa cos bx dx +f, f(9) dt fR +23 dz. Hier ist im ersten Doppelintegrale wegen der Integrationsgränzen 0 und 6, zwischen denen t liegt, 6>t und mithin cos bx cos tx={cos(b+t)x+}cos(b−t)x; im zweiten Doppelintegrale dagegen ist zufolge der Integrationsgränzen b und c jederzeit c>tb, und mithin muss man hier, wo t>b ist, cos tx cos bacos (t+b)x+cos(t-b)x 1 setzen. Wendet man jetzt die Formel (1) an, so ergiebt sich auf der Steile und vergleicht darauf die erste und letzte Form von S, so gelangt man zu dem Theoreme: Bevor wir Beispiele zu diesem nicht unwichtigen Satze geben, wollen wir erst ein Correlat dazu aufstellen. Dasselbe ergiebt sich leicht, wenn man auf das Doppelintegral ganz die vorigen Transformationen anwendet; der Unterschied besteht nur darin, dass man das in vorkommende Sinusprodukt in eine Cosinusdifferenz zerlegt, statt dass früher eine Cosinussumme vorkam. Man findet so ohne Schwierigkeit Als erstes Beispiel benutzen wir die Substitution f(1) =}¦ in die Formeln (8) und (9); es wird dann Setzt man links xt=t, so geht das nach t genommene Integral in über, wo Si den Integralsinus bezeichnet. Nimmt man ferner im u ersten Integrale rechts t=—-, im zweiten t=~, so wird a Theil XL 12 |