Geht man noch zur Gränze für unendlich wachsende c über und erinnert sich, dass

ist, so gelangt man zu der schon bekannten, für jedes positive a und 6 geltenden Formel:

Ein zweites bemerkenswerthes Beispiel liefert die Annahme c=∞, f(t)=tu-1, wobei die Formel

in Anwendung gebracht werden kann. Die Formel (6) giebt jetzt

wo man nun 1 und 2 leicht in convergirende Reihen verwan

deln kann.

Von besonderem Interesse ist der Fall μ, wo г(μ)=√π

π Γ. (μ, αβ)

Tetab

cosec έμπ.

wird; man hat dann

Setzt man a2, b2, z2, t2 für a, b, x, u, so erhält man hier

Bemerkenswerth ist hier noch, dass die Differenz beider Integrale eine algebraische Grösse (im Sinne Abel's) darstellt.

XIX.

Untersuchungen über die Theoreme von Cotes und Moivre.

Von dem

Herrn Doctor F. Arndt,

Lehrer am Gymnasium zu Stralsund.

Es ist bekannt, wie man durch die Theorie der imaginären Form (cos +-1sing) zur Kenntniss der sämmtlichen imaginären Wurzeln der Gleichung n+1=0 oder x-1=0, und dadurch zur Zerlegung der Functionen "+1, xn. -1 in Factoren ersten Grades gelangt. Werden je zwei conjugirte imaginäre Factoren durch Multiplication zu einem reellen Factor zweiten Grades vereinigt, so erhält man eine Darstellung jener Functionen durch ein Product aus reellen Factoren des ersten und zweiten Grades. Diese Herleitung des Cotesischen Theorems ist zwar höchst einfach, aber, da sie auf imaginären Betrachtungen beruht, nichts weniger als elementar, weshalb eine Herleitung ohne Hülfe des Imaginären diesen Gegenstand dem Anfänger vielleicht zugänglicher machen dürfte; denn wenn es ihm auch keine Schwierigkeit macht, mit imaginären Formen zu rechnen, so versteht er damit doch noch nicht die Bedeutung derselben, wie wir überhaupt eine lichtvolle Theorie über das Wesen des Imaginären wohl noch zu erwarten haben. Die Darstellungsmethode, welche ich auf den Cotesischen Satz anwende, wird sich auch auf den Moivreschen Satz ausdehnen lassen; eine Herleitung des letztern ohne Hülfe des Imaginären ist übrigens von Göpel im VI. Bande des Archivs Seite 102. ff. bekannt gemacht.

§. 1.

Zerlegung der Function X=" +1.

Es sei x2-ax+ß ein trinomischer Divisor der Function +1, der sich nicht in einfache reelle Factoren zerlegen lässt; dann muss, wie aus der Gleichung x2-x+ẞ=(x—}α)2—(}α2-B)

hervorgeht, ẞ positiv und zugleich a2 <ß sein. Um a und ẞ zu bestimmen, setze man

Ᏸ

-3

;=xn−2+А1x2¬3+А2x2-4+.... + An-3x + An-2

multiplicire zu beiden Seiten mit dem Nenner linker Hand, ordne rechter Hand nach absteigenden Potenzen von x und identificire heide Seiten der Gleichung; dann erhält man folgende Relationen: A1 = α,

Der Coefficient ẞ lässt sich sogleich bestimmen, wenn man a zwischen je zwei auf einander folgenden Relationen eliminirt. Es kommt nämlich :

In Folge der letzten Gleichung muss ẞ1 sein, wenn n ungerade; wenn n aber gerade, so kann es zwar sowohl =I als

- 1 sein, indessen hat man auch hier ẞ=1 zu nehmen, da es nach dem Óbigen positiv ist. Es ist also ẞ=1, folglich wegen der Gleichung BAn-2=1 auch An-1. Eliminirt man nun ẞ und An-2 aus den obigen Gleichungen, so erhält man

Bestimmt man aus diesen Relationen rückwärts An-3, An-4, An-s, etc., so erhält man leicht

An-3-A1, An-4-A2, An-6-A3, u. s. w,,

und in der Reihe

A1, A2, A3,....An-5, An−4, An-3

sind folglich je zwei von den Enden gleichweit abstehende Coefficienten einander gleich. Auch liegt dies ganz in der Natur der Sache; denn wenn man in (1) x=- setzt, so findet man

3

1

y

y2 — ay+1=y”—2+An~3 y′′¬3 † An¬4y”—a‡.......+Aqy2+A ̧y+1,

und die Vergleichung dieser Relation mit (1) führt unmittelbar zu der im Vorhergehenden angezeigten Gleichheit der Coefficienten.

Die unmittelbare Bestimmung der Grössen A1, A2, A3,.... An-3, a aus den Relationen (2) durch gewöhnliche Substitution führt uns jedenfalls zu einer höhern Gleichung; es lassen sich aber independente Ausdrücke für dieselben finden, wenn man α= 2 cos setzt, was jedenfalls erlaubt ist, da nach dem Vorhergehenden 21, folglich a2<4, und der absolute Werth von a kleiner als 2 ist.

Die Benutzung der bekannten Formel

sin (n+1)=2cos y sin no-sin (n-1)p

Aus den beiden letzten Gleichungen ergiebt sich der Winkel ❤, nämlich