Durch Substitution dieser Werthe in (a) erhält man cotg DE.cotg EF-cos MB. Diese Gleichung erhält man immer, wenn man zwei beliebige Seiten des sphärischen Fünfecks, welche in einem Punkte zusammentreffen, als Funktion der mit jeder von ihnen zusammenstossenden Seiten ausdrückt (§. 3.), die beiden Ausdrücke, welche man erhält, multiplicirt und die dann vorliegende Gleichung möglichst vereinfacht. Auflösung der beim rechtwinklichten sphärisch en Dreiecke vorkommenden Aufgaben, vermittelt durch das sphärische Fünfeck. §. 5. Für das Folgende, wie für den praktischen Gebrauch überhaupt, ist es bequem, das Bild des sphärischen Fünfecks und der über seinen Seiten liegenden Dreiecke, abgesondert von der Kugel, vor Augen zu haben, wie es in Taf. II. Fig. 3. dargestellt ist. Zu den Stücken, welche bei der Berechnung des rechtwinklichten sphärischen Dreiecks in Betracht kommen, gehören die Seiten a, b, c und die Winkel B und C. Diesen Grössen oder ihren Komplementen entsprechen die Seiten des beschriebenen sphärischen Fünfecks beziehungsweise. Soll aus je zwei von ihnen eine dritte berechnet werden, so suche man die ihnen oder ihren Komplementen entsprechenden Seiten in der Figur auf, drücke ihren Zusammenhang entsprechend einem der beiden Lehrsätze §. 3. und § 4. aus, und forme die Gleichung, welche man dadurch erhält, so um, dass die gesuchte Grösse auf einer Seite allein steht. Hierdurch ergibt sich die Formel, nach welcher die numerische Berechnung ausgeführt werden muss. §. 6. Aufgabe. Gegeben die beiden Katheten bund c, gesucht: a) Die Hypotenuse a. Nach §. 2. ist cosa cosb.cosc. b) Der Winkel B. Im Fünfeck (Taf. II. Fig. 3.) entspricht der Bogen DE als Maass dem Winkel B, ebenso ist DM 90°-b und FB-90"--c. Nach §. 4. ist aber cos FB cotg DE. cotg DM, cos (90°-c)=cotg B.cotg (909—6). Da nun cos (90—c)=sin c und cotg (90 — b)= tgb, so ist auch S. 7. Aufgabe. Gegeben die eine Kathete b und die Hypotenuse a, gesucht: b) Der von der Kathete b und Hypotenuse a eingeschlossene Neigungswinkel C. Im Fünfeck entspricht der Bogen EF dem Winkel C, Bogen MB der Hypotenuse a und Bogen DM dem Komplemente 90o →b von b. Nach §. 4. ist cosEF=cotg MB.cotg DM, cos C=cotge.cotg (900 – 6), c) Der Winkel B, welcher der gegebenen Kathete gegenübersteht. Da Bog. MB der Hypotenuse a, Bog. MD dem Komplemente 900-b von b und Bog. DE dem Winkel B entspricht, und nach §. 3. §. 8. Aufgabe, Gegeben eine Kathete c und der ihr gegenüberstehende Neigungswinkel C, gesucht: a) Die Kathete b. Nach §. 6. b. ist sin b cotg C. tgc. b) Die Hypotenuse a. Es entspricht dem Winkel B der Bog. DE, dem Winkel der Bog. EF und dem Komplemente 90°-c von c der Bogen FB. Es ist S. 9. Aufgabe. Gegeben die beiden Neigungswinkel Bund C, gesucht: C VIII. Ueber die singulären Werthe bestimmter Integrale. Von dem Herrn Professor Dr. O. Schlömilch an der Universität zu Jena. vor, worin x eine willkührliche Constante bedeutet und die Funktion f(x, t) die Eigenschaft besitzt, für ein gewisses spezielles sich zu annulliren, wie z. B. 7(1+xt) für x=0; in solchen Fällen meint man gewöhnlich, es müsse für diesen Werth von x auch der Werth des ganzen Integrales verschwinden, weil sich dasselbe auf 0.dt reduzire. Diess ist indessen nichts weniger als allgemein richtig und es muss hier noch eine besondere Einschränkung hinzugefügt werden. Erinnert man sich nämlich, dass das in no. (1) aufgestellte Integral nichts Anderes als der Gränzwerth ist, welchem sich der Ausdruck d[f(x,a)+f(x, a +8) + f (x, a +28) + f (x,' a +38) + ... für unendlich wachsende n, also bis zur Null abnehmende d, nähert, so erkennt man sogleich die Richtigkeit folgender Bemerkungen. In der Reihe (2) nimmt t successive die Werthe a, a+d, a + 28,... a + n −18—6—8 an, d. h. es durchläuft stetig das Intervall_t=a bis t=b; ist nun f(x, t)=0 für jenen speziellen Werth, der etwa x heissen möge, gleichgültig, welchen von den Werthen a, a+d, a+28 etc. man dem t geben möge, so verschwindet jedes Glied der Reihe (2) für sich, und folglich erhält man 8.00 als Gränzwerth; oder mit anderen Worten: das Integral in (1) annullirt sich, sobald f(x, t)=0 ist für x=x' und jedes t innerhalb des Intervalles a bis b. Anders aber wird die Sache, wenn es unter den Grössen a, a +d, a +28, etc. eine, d. h. innerhalb des Intervalles a bis 6 einen Werth von t, etwa t' giebt, welcher die Eigenschaft besitzt, dass die Funktion f(x,t) für x=x' und t=t' unbestimmt oder gar unendlich wird; in diesem Falle wird nämlich eines der Glieder in no. (2) selbst unbestimmt oder unendlich, und man kann jetzt nicht mehr behaupten, dass der fragliche Gränzwerth, nämlich das Integral in (1), für x=x' verschwinde. So z. B. annullirt sich der Werth des Integrales für x=0 nicht, obgleich diess im Allgemeinen mit der Funktion x der Fall ist. Innerhalb des Intervalles t=0 bis t=h kommt 22412 nämlich auch der Werth t=0 vor und für diesen wird 0 bestimmt = wenn zugleich x=0 ist. Der wahre Werth jenes Integrales findet sich dagegen leicht durch unmittelbare Integration, denn es ist folglich, wenn x-bis zur Gränze Null abnimmt, Zu demselben Resultate gelangt man durch Einführung einer neuen Variabeln, indem man txt setzt, wobei die neuen für z geltenden Integrationsgränzen durch die Gleichungen 0=x, also T=0, und h=xt, also t h bestimmt werden. Es ist dann Lim hxdt dr imƒ" 3+0 = √ 142 = 5 Ganz ähnlich verhält es sich mit dem Integrale 2 |