Der Gränzwerth des Integrales rechts ergiebt sich leicht aus folgender Bemerkung. Da f'(t) innerhalb des Intervalles 0 bis h endlich bleibt, so ist diess um so mehr mit f' (λt), wo λt <t, der Fall, und folglich sind das Maximum und Minimum, welches f'(at) innerhalb des genannten Intervalles erreicht, endliche Grössen. Bezeichnen wir sie mit M und N, so ist <M[{}({8+42)~{1(0)], Da sich nun für unendlich abnehmende & die Produkte and nach no. (5) ergiebt sich jetzt das bemerkenswerthe Theorem II. Für ein zweites Beispiel gehen wir von dem Doppelin egrale s, = ƒ "du ƒ (Be-Butae-aut) f(t) dt (7) worin w und k positive von Null verschiedene Constanten deuten und der Funktion f(t) die Eigenschaft zugeschrieben rd, dass ihre Derivirte f'(t) stetig und endlich bleibt von t=0 st=h. Da unter diesen Voraussetzungen die Funktion (Be-But de-aut) f (t) weder unstetig noch unendlich oder unbestimmt wird innerhalb der Integrationsintervalle u=0 bis u=o, t=0 bis t=h, so darf man statt der Gleichung (7) durch Umkehrung der Integrationsordnung auch die folgende setzen: Vermöge der Gleichung f(t)=f(0)+tf'(λt) ist dann weiter Lassen wir nun wins Unendliche hinaus wachsen, so ergiebt sich vermöge des ersten und letzten Werthes von S: S" -aut]f(t) dt -awt = f(0) & (2) + Lim [ƒ^ƒ' (xt) [e="ost — e-Boot] dt] (8) Da f'(lt) von t=0 bis_t=h stetig und endlich bleibt, woraus sich sogleich ergiebt Lim { ["r" (0) [eut-e-flod]de}=0, und folglich nach no. (8) ƒo duf Ꮭ 'ƒ "[ße¬ßut—ce—aut] ƒ (t) dt=ƒ (0)}1 (9) Beide Theoreme (6) und (9) haben das Besondere, dass der Werth des, in ihnen vorkommenden Doppelintegrales unabhängig von der Constanten h ist, vorausgesetzt, dass dieselbe positiv und 0 bleibt. Setzt man h=∞ und wählt dann f(t) so, dass f(t) stetig und endlich bleibt von t=0 bis too, so kann man leicht ein paar passende Beispiele finden, für welche sich die Integrationen ausführen lassen." Setzt man endlich noch f(t)=(x+1), wo nun p'() stetig und endlich bleiben muss von z=x bis z=x+h, so gehen die beiden Theoreme (6) und (9) in die etwas allgemeineren über: wobei die Variabele x der Funktion g als arbiträre Constante hinsichtlich der beiden nacht und u auszuführenden Integrationen igurirt. Der Werth eines bestimmten Integrals lässt sich häufig dadurch finden, dass man für einen Factor der Function unter dem Integralzeichen ein bestimmtes Integral setzt, und dann in dem entstandenen Doppelintegrale die Integration umkehrt. Da die Anwendung dieser Methode mich nicht blos zu einer einfachen Herleitung bekannter Integralwerthe, sondern auch zur Entwickelung neuer, auf anderem Wege vielleicht nur umständlich zu ermittelnder Integrale geführt hat, so dürfte das Folgende nicht ohne Interesse sein. S cos mxdx das bestimmte Integral -zx sin zôz, und kehrt die Integration um, so erhält man sung sogleich ∞ = Ce-m giebt, wo C eine von m unabhängige Constante ist. Um diese zu bestimmen, braucht man nur m≈0 zu 1422= übergeht; es ist also C= 2 S 5 e-m (m>0). Wird x=3, und dann m=ab gesetzt, so kommt π wo a und b positive Grössen sind. Auch darf in der ersten Gleichung b=0, in der zweiten a=0 sein. Lacroix erwähnt im Traité. Tom III.p. 492-93 nur beiläufig, dass ein Verfahren von Laplace, den Werth des obigen Integrals zu entwickeln, auf Doppelintegration zurückkomme (c'est par la considération des intégrales doubles, que M. Laplace à obtenu, axcosrx entre les limites x=0 et x= infini, la valeur de sind seine Worte). Mir ist diese Methode übrigens nicht gegenwärtig, doch scheint es die von Minding (Integralrechnung. Berlin. 1836. S. 240.) in Anwendung gebrachte zu sein, welche auf eine Differentialgleichung zweiter Ordnung führt. Ganz ungenügend ist die Herleitung von Poisson, welche Lacroix a. a. O. aufgenommen hat. Poisson differenzirt nämlich die Gleichung w= S cosmxdx zweimal nach m, und findet Er setzt den Werth dieses Integrals =0, wegen der bekannten x2 cos mxdx cos mxdx. a2 + m2 Das Integral f cosmxdx cos mxdx hat aber gar keinen bestimmten Werth, wie aus sin mx m +const. erhellt, und somit würde der Werth von wvielmehr unbestimmt sein. Dies ist indessen wieder nicht der Fall, da aus der obigen strengen Herleitung der Gleichung 22w =em in der That folgt w |