so erhält man, nach Substitution dieser Werthe und ausgeführter Integration,

B(a+b) 1-xn3

・xa+w+μ+2+x¤+õ+u+2+ß ...... +xα+w+u+2+(n−1)ß = x a 1 - x2

Ist n∞ und x <1, also die Reihe unendlich, so wird

Wenn man diese Gleichung nun zweimal differentiirt, wird man aus ihr s erhalten.

XLII.

Vermischte kleinere geometrische Bemerkungen.

Von

Herrn Dr. Wilhelm Matzka,

Professor der Mathematik zu Tarnow in Galizien.

I. Reihe zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Kreisabschnittes aus seiner Sehne und Sagitte.

44

Der Feldmesser sieht sich bei der Berechnung der Flächeninhalte krummlinig begrenzter Grundstücke öfters in der Lage, Bogen ihres Umfanges nahe für Kreisbogen ansehen zu dürfen; wonach er dann für die, von den angehörigen Sehnen abgeschnit

tenen Kreisabschnitte aus ihrer leicht auszumessenden Sehne und Sagitte, als aus Grundlinie und Höhe, die Flächeninhalte berechnen kann. Zu diesem Zweck lässt sich eine oft rasch convergente Reihe aufstellen, die ich in einem Lehrvortrage über praktische Geometrie durch weitwendige Integralrechnung abgeleitet finde, wofür ich die folgende kürzere Herleitung setzen möchte.

Sei (Taf. VIII. Fig. 5.) in dem Kreisabschnitte ABCA die halbe Sehnek, die Sagitte oder der Pfeil DC=p. Für den zunächst zu suchenden Halbmesser OA=0C=r gibt das Dreieck ADO die Gleichung r2 = (r−p)2 + k2, und daher den Halbmesser

Setzen wir zur Hilfe der Winkel AOC= 9, so ist im rechtwinklichen Dreiecke ACD der Winkel CAD=19, daher

Kreisabschn. ABCA-Kreisaussch. OACBO-Dreieck ABO,

dazu

OACB0=104. are ACB=r.r2+= r2,

wenn den Gehren, d. i. denjenigen Winkel bezeichnet, dessen bestimmender Kreisbogen seinem Halbmesser gleicht.

ዎ

Die vorige Gleichung gibt aber angtang, daher ist

=

OACBO=2r2. angtang

P

Ferner ist des Dreieckes ABO Höhe DO=r+p=i("—"), daher sein Flächeninhalt =}AB.DO={k(},

p

und man sieht sich dadurch aufgefordert, zur Abkürzung das Verhältnisseinfach durch t zu bezeichnen, wonach man erhält

"

f

24=(a+2+)angtang (+

Setzt man noch für einen Augenblick

(+1)angtang 1-=4,

+t.

Für die Rechnung wird man diese Reihe bequemer so gestalten:

Die Reihe wird rasch convergiren, wenn des Kreisabschnittes Grundlinie k in Vergleich gegen seine Höhe p hinreichend gross ist, was in dem erwähnten Falle der Anwendung immer statt findet.

II. Ueber die Möglichkeit, einer Pyramidenstumpfe ein Prisma ein- oder umzuschreiben.

Um den Ausdruck des Körperinhaltes einer Pyramide abzu leiten oder die Gleichheit zweier Pyramiden von gleichen Grundebenen und Höhen nachzuweisen, muss mair selbe durch Ebenen parallel zur Grundebene in Pyramidenstumpfe (abgekürzte Pyramiden) zerschneiden, und jedem derselben ein Prisma sowohl ein- als umschreiben. Dass letzteres nicht immer thunlich

sei, habe ich noch in keinem Lehrbuche der Stereometrie bemerkt gefunden; wesswegen ich hier auf dieses Uebersehen aufmerksam machen will.

1. Das Ein- und Umschreiben von Prismen bei Pyramidenstumpfen ist sicher, aber auch nur dann möglich, wenn die Grundebene der Pyramide ein so gestaltetes Vieleck ist, dass sich in seinem Innern oder Umfange wenigstens Ein Punkt so annehmen lässt, dass sämmtliche aus ihm zu den Vielecksspitzen gehenden Radienvectoren weder ganz, noch auch blos zum Theil ausser das Vieleck fallen. Da wird jedesmal die durch einen solchen Punkt und durch die Spitze der Pyramide gehende Gerade die Richtlinie der ein- und umzuschreibenden Prismen, d. i. diejenige gerade Linie sein, zu der die Seiten der Prismen parallel werden müssen; und der Punkt mag hier kurz der-Richtpunkt dieser Richtlinie heissen.

Weil alle zur Grundebene der Pyramide parallelen Schnitte ihr ähnlich sind, so muss auch der Einschnittspunkt der Richtlinie in jeden solchen Schnitt der in diesem Schnitte befindliche Richtpunkt und Stellvertreter des in der Grundebene selbst vorhandenen Richtpunktes der Richtlinie sein. Dadurch ist uns der Vortheil geboten, anstatt der ganzen Pyramide nur irgend einen ihrer Stumpfe betrachten zu können.

Seien demnach (Taf. VIII, Fig. 6.) Q und Q' die Richtpunkte in der unteren und oberen Grundebene eines Pyramidenstumpfs, O die Spitze der ganzen Pyramide, 4 und A' einander entsprechende, in einerlei Seitenkante OA'A gelegene Spitzen dieser Grundebenen, OA und O'A' die Strahlen aus Q, Q' an A, A', welche

1. nirgends ausser die Grundebene fallen sollen. Führt man nun zur Richtlinie OQ'Q parallel die prismatischen Seitenkanten 'a' und Aa; so fällt a' in und a ausser die Grundebene, also 'a' in und Aa ausser den Pyramidenstumpf; wofern man jenes In auch noch im Umfange der Grundebene und in der Umfläche des Stumpfes gelten lässt.

Denn wegen des Parallelismus der Grundebenen des Stumpfes sind auch ihre Durchschnittslinien OA, O'A' mit der Ebene, (04, OQ) unter sich parallel, folglich ist QA÷Q'A'=OQ:OQ'; daher wegen OQ OQ' auch QA Q'A'. Weil ferner Aa|| QQ ||| A'a' ist, muss QA'=Qa' und QA=Q'a sein, daher ist QA Qa' und Q'a> Q'A'. Mithin liegt a jederzeit ausserhalb, a' dagegen niemals ausserhalb, sondern so wie der Strahl Q4 in, d. h. ent weder innerhalb oder im Umfange, der Grundebene.

Da ein Gleiches auch an allen Eckpunkten der Grundebenen to oberen ( gilt, so, muss das über der Grundebene des Pyramidenunteren

2. Liegt der Strahl Q4 ganz ausser der Grund ebene, so liegt (in Taf. VIII. Fig. 6.) a' gewiss auch ausser.

'halb derselben, und der Richtpunkt Q liegt (Taf. VIII. Fig. 7.) in einer Grundseite FG, an deren einem Eckpunkte F nothwendig ein eingehender Winkel sich befindet, dessen Inneres so wie bei F in der Zeichnung (Taf. VIII. Fig. 7.) durch Schraffirung angedeutet sein möge. Wird nun die prismatische Seitenkante FfQO geführt, so muss (wenigstens im Allgemeinen) der Punkt fins Innere der oberen Grundebene fallen.

3. Befindet sich der Strahl OA zum Theil ausser der Grundebene, so liegt (in Taf. VIII. Fig. 6.) der Punkt a' wenigstens im Allgemeinen auch ausserhalb derselben, und dieser Strahl schneidet (Taf. VIII. Fig. 8.) eine Grundseite FG, an deren einem Eckpunkte F nothwendig ein eingehender Winkel sich befindet. Zieht man die prismatische Seite Ff|| QO, so muss wenigstens für gewöhnlich der Punkt f ins Innere der oberen Grundebene zu liegen kommen.

Aus beiden letzteren Untersuchungen erhellet demnach, dass, sobald auch nur ein einziger Strahl aus einem angenommenen Richtpunkte an irgend einen Eckpunkt der Grundebene ganz oder zum Theil ausser dieselbe fällt, weder das über der oberen Grundebene des Pyramidenstumpfes errichtete Prisma ganz in ihn, noch das über seiner unteren aufgestellte Prisma ganz ausser ihn falle, folglich auch nicht mit Sicherheit angegeben werden könne, dass das erstere Prisma kleiner und das letztere grösser als der Pyramidenstumpf sei; und gerade auf diese Sicherheit kommt hier Alles an.

II. Was nun die Gestalt der Grundebene anbelangt, bei welcher geeignete Richtpunkte möglich sind, oder bei der das Ein- und Umschreiben von Prismen in und um die Pyramidenstumpfe ausführbar ist; so hängt selbe wie aus dem Vorigen einleuchtet von der Menge, Lage und Grösse ihrer eingehen. den Winkel ab.

1. Hat insbesondere die Grundebene gar keinen eingehenden, also lauter ausgehende Winkel, wie vornehmlich das Dreieck, so liegt in der Oeffnung jedes Umfangswinkels eines solchen Vieleckes das ganze Vieleck selbst; mithin ist jeder innere und Umfangspunkt dieses Vieleckes zu einem Richtpunkte tauglich, nemlich so gelegen, dass keiner der aus ihm an die Vielecks spitzen führenden Strahlen den Umfang des Vieleckes überschreitet.

2. Kommt in der Grundebene ein einziger eingehender Winkel vor und verlängert man die ihn bildenden Seiten in das Innere des Vieleckes, bis sie abermals dessen Umfang treffen; so machen diese Verlängerungen einen hohlen Winkel, in welchem ein Vieleck von lauter ausgehenden Winkeln liegt, dessen jeder innere und Umfangspunkt zu einem Richtpunkte sich eignet.

3. Kommen in der Grundebene mehrere eingehende Winkel vor, so wird man die eingehenden Seiten jedes solchen Winkels in das Innere des Vieleckes und bis zu dessen Umfang verlängern. Findet man dann ein wenn auch noch so kleines Vieleck, das in dem hohlen Winkel jedes Paares von Verlänge rungen der Schenkel eines eingehenden Winkel zugleich liegt, so ist jeder innere und Umfangspunkt desselben zu einem Richt