devra être le même que le reste que produira l'opération faite sur le produit de la multiplication générale, qui est la même que celle faite sur les facteurs.

Cependant, l'addition des chiffres placés dans l'ordre impair pouvant être moindre que celle de ceux de l'ordre pair, s'il en était ainsi, on ajouterait un ou plusieurs nombres 11, de manière à rendre supérieur le produit impair, ce qui ne chan. gerait rien au calcul.

Exemple: Si on avait à multiplier 6,742 par 523, on aurait pour produit 3,526,066.

L'addition des chiffres 2, 7, placés dans l'ordre impair, donne 9; ceux de l'ordre pair, 10. Donc je ne puis opérer la soustraction, puisque ce dernier nombre est plus fort. Pour y obvier j'ajoute 11 au premier, et j'ai pour produit 20, duquel je déduis 10, total des chiffres pairs, et j'ai pour reste 10. J'exécute de la même manière sur le second facteur, et j'ai pour reste 6, qui, multiplié avec celui du premier, me donne 60, auquel je retranche tous les nombres 11 qu'il contient, c'est-à-dire 55, et j'ai pour reste 5.

Le résultat de l'opération sur le produit de la multiplication générale étant également 5, la multiplication est juste.

La preuve pour la division s'exécute de la même manière, toujours en retranchant du dividende le chiffre qui reste de la division.

On peut encore faire la preuve d'une multiplication en doublant l'un des facteurs, et par compensation en réduisant l'autre à la moitié; mais dans ce cas il faut deux opérations.

Chapitre 15.

DES ÉCHÉANCES COMMUNES.

92. Observations générales. Les échéances communes sont le complément nécessaire des calculs qui ont servi à l'exécution des comptes courants et d'intérêts, et non seulement elles peuvent servir à les établir, mais elles sont utiles dans une foule d'autres circonstances que la pratique fera découvrir. Son emploi le plus ordinaire est pour réunir plusieurs factures ou plusieurs valeurs de sommes et à des échėances différentes en une seule : ainsi, lorsque l'on négocie au pair plusieurs valeurs pour en recevoir le montant à l'échéance, il est de toute nécessité d'en connaître la commune, afin de ne pas être obligé de recevoir partiellement chacune de ces valeurs.

Pour aider à acquérir la pratique de ces calculs, nous avons établi le compte courant d'Aubin (modèle n° 3, art. 251) avec des échéances communes, et nous allons les expliquer.

93. On commence par écrire toutes les valeurs successivement, et en dessous les unes des autres, de manière à pouvoir les totaliser; on recherche ensuite la plus faible échéance, que l'on prend pour point de départ ou époque, et l'on calcule toutes les autres sur celle-là, c'est-à-dire que l'on inscrit à chacune d'elles le nombre de jours qui les sépare; on multipliera ces jours par les sommes auxquelles ils appartiennent, et le résultat de chaque multiplication sera des nombres, que l'on réunira, pour en diviser le total par celui des capitaux.

Le quotient ou produit de cette division sera des jours que l'on ajoutera à l'échéance qui a servi de point de départ, et la date à laquelle s'arrêtera l'addition de ces jours avec l'époque de départ sera celle de l'échéance commune.

94. Pour exemple, prenons la première remise faite à AUBIN, et dont l'échéance commune réunit en une seule quatre valeurs, formant ensemble 5,000 fr., à des échéances différentes, que la commune a fixée au 20 mai.

L'exécution des explications que nous venons de donner se pratique ainsi :

100

95. Explication des calculs. Après avoir établi les valeurs en dessous les unes des autres avec les sommes et les échéances, j'ai trouvé que le 25 avril était l'échéance la plus faible, et, pour la distinguer, j'ai mis à sa droite : époque; calculant ensuite les jours dont elle est séparée de chacune des autres échéances, j'ai vu 'que du 25 avril au 15 mai il y avait 20 jours; du 25 avril au 25 mai 30 jours, et du 25 avril au 10 juin, 46 jours; j'ai mis chacun de ces nombres de jours à leur échéance respective, et je les ai multipliés par les sommes auxquelles ils appartiennent; le résultat de ces multiplications a donné 126,000 nombres, que j'ai divisés par 5,000 fr., ou total des sommes, et j'ai obtenu pour produit de la division 25, qui sont les jours à ajouter à l'époque de départ pour déterminer l'échéance commune, 20 mai. En effet, pour compléter avril il faut 5 jours, ce qui réduit les 25 obtenus à 20, et, appliquant ces derniers au mois suivant, qui est mai, j'ai nécessairement pour échéance commune 20 mai.

La fraction 1,000 ou reste de la division se néglige comme n'étant qu'un cinquième de jour.

On aurait pu simplifier ce calcul en supprimant trois chiffres à chacun des totaux, puisqu'ils sont sans valeur.

96. DES BARÊMES. Comme il a déjà été dit, tous ces calculs doivent s'exécuter par la pratique, et non à l'aide de barêmes, etc., afin d'éviter de rendre l'esprit paresseux et d'être dans l'impossibilité d'exécuter si on devait faire le calcul hors de chez soi. Il est à remarquer ensuite que les calculs par le moyen de barêmes font perdre autant de temps, et que les erreurs dont ils sont susceptibles sont d'autant plus à craindre, que très souvent, confiant dans le moyen que l'on a pris, on néglige de les vérifier,

Chapitre 16.

DU SOLDE, ET DE LA MANIÈRE DE LE TROUVER.

97. Le SOLDE d'un compte est le chiffre qui sert à faire balancer le Débit avec le Crédit, et vice versa, dont la somme est due et sera portée à nouveau ou payée.

Le terme Solde diffère de celui Balance, en ce que l'on se sert de celui-ci pour désigner un compte dont le solde est perdu ou est compensé par un autre compte. Dans le premier cas c'est Profits et Pertes qui sert à balancer.

98. Pour trouver le chiffre d'un Solde il ne faut jamais se servir de la soustraction, mais bien de l'addition. Il sufffira, après avoir additionné les chiffres connus, d'ajouter ceux qui sont inconnus et qui servent à rendre les totaux égaux; les chiffres ajoutés ou inconnus formeront le solde cherché.

Exemple: Si le Débit d'un compte était 27 et que le Crédit

fût 15, il est évident qu'il y aurait un chiffre inconnu qui doit solder le crédit et rendre son addition égale à celle du débit; je dirai donc pour le chercher : 5 (chiffre connu) et 2 (chiffre inconnu) font 7; puis, pour la colonnes de dizaines, 1 et 1 font 2; d'après ce calcul j'aurai pour chiffres inconnus ou pour solde 12.

Prenant pour second exemple le compte courant et d'intėrêts de Denis chez Cormenin, art. 251, on verra que

6,814 fr. 23 cent. était inconnue avant d'avoir cherché le solde.

Si l'on doute où est le solde, les deux additions doivent être faites préalablement; mais, si au contraire on sait où il doit être, l'addition la plus forte sera faite la première, et, à mesure que l'on additionnera les colonnes de la plus faible, on ajoutera le chiffre inconnu, ce qui rendra le total égal à celui de la plus forte.

Cette manière de chercher le solde est de beaucoup préférable à l'emploi de la soustraction, qui est moins certaine, et qui nécessite une opération séparée.

Chapitre 17.

COMMENT ET QUAND ON PEUT SOLDER

LES COMPTES COURANTS AUX GRANDS-LIVRES.

99. Observations générales. D'après les méthodes en vigueur pour la partie double, les comptes aux Grands-Livres ne peuvent se solder que lors de l'inventaire, et cette manière de faire est d'autant plus nuisible qu'elle rend plus difficiles les vérifications ou la recherche d'un solde, pour lequel il faut nécessairement faire une opération quelquefois longue et toujours ennuyeuse, par suite du cumul des articles.

Apportant des améliorations à la partie double, j'ai dû chercher à éviter cet ennui, qui est un véritable obstacle, et j'ose