Hierin ist z. B. für die Tangenten-Coefficienten: F. GIUDICE. A proposito della quistione 88 proposta del prof. Cesaro. Batt. G. XXVI. 342-344. Bedeutet s die Summe, u, das te positive, r, das nte negative Glied einer Reihe, p die Wahrscheinlichkeit, dass ein willkürlich herausgegriffenes Glied der Reihe positiv sei, so drückt der Herr Verfasser s durch p aus für folgende Beispiele: D. BIDDLE. A study in regard to the value of 7; containing an an account of some curious relations between certain numbers or series of numbers. Ed. Times. L. 137-148. W. S. B. WOOLHOUSE. Addition. Ibid. 148-152. Herr Biddle beschäftigt sich mit der Leibniz'schen Reihe und sucht Wege auf, um sie in rascher convergente, zur Zahlenrechnung bequemere Formen umzuwandeln. Herr Woolhouse weist auf seine Untersuchungen hin, die im Ladies' Diary vom Jahre 1836 erschienen sind und sich in gleicher Richtung bewegten. Aus ihnen werden einzelne Resultate abgedruckt. Lp. A. CAYLEY. Note on the sums of two series. Mess. (2) wo a reel, positiv und unendlich klein angenommen ist. Herr Der Verfasser definirt die früher (Académie des Sciences de Stockholm 1888) durch (s, x) bezeichnete Function für beliebige Werte von s und x, indem er für 1: das bekannte Integral einsetzt. Auf Grund dieser Darstellung beweist er die Formel: welche als besonderen Fall die früher von ihm abgeleitete enthält. Hierin bedeutet (s, x) gleichfalls eine Verallgemeinerung der Bernoulli'schen Function, welche der Herr Verfasser, ebenso wie (s, x), durch ein Integral definirt und in die Form überführt. Schliesslich zeigt er, dass zwischen den Functionen x und die Gleichung besteht: -in x(s, 1-x) = eiлsy(s, x) — 2i(2л) ̃3е 2 sinës. ((s, einx). Wz. Enthält eine Ausdehnung der vom Verfasser für ganzzahlige Werte von s bewiesenen Formel 1 ¿ (§, x) + (− 1)·5('s, —-—-— ) = − (2 in)'x (s, log x x 2 in auf beliebige s. In der Formel bezeichnet (s, a) die Summe Σ und x(s, x) die Bernoulli'sche Function der Ordnung s. (Vergl. das vorangehende Referat.) A. BERGER. Fm. Härledning af några independenta uttryck för de Bernoulli'ska talen. Stockh. Öfv. 129-138. setzt, so nennt der Verfasser B(n) die Bernoulli'sche Zahl von der Ordnung n. Er erhält Der Verfasser leitet auch einen anderen Ausdruck ab, der jedoch schon von Hrn. Kronecker (Journ. d. Liouville (2) I) gegeben ist. Fm. DICKSON. On Raabe's Bernoullians. Lond. M. S. Proc. XX. 14-21. Der Satz, dass die von Raabe so genannten Bernoulli'schen Functionen (, 2n-1) und (z, 2n) sich in der Form q(3, 3) F(u) resp. (3, 4) G(u), wo u = f (z, 2) = -z ist, darstellen lassen, wird vom Herrn Verfasser in folgender Weise bewiesen. setzt: 4 Er und bestimmt hieraus die Grössen a, a,, • • •, b。, b1, • Ferner setzt er: (≈, 2n−1) = 4 (3, 3) {c, 9(z, 2n−4) + c, q(3, 2n −5) + ··· + C2, +}, p(z, 2n) = p(3, 4){d ̧ p (3, 2n −4) + d, ø (z, 2n−−5) + ··· + d2n−4}, und drückt sodann die Grössen a, a,, durch die c, c,,..., resp. do, d1, aus. ... resp. ს, ხ,, Zwischen den ... Anknüpfend an frühere Arbeiten (vergl. F. d. M. XIX. 1887. 241) definirt der Verfasser die Grössen B, B., B,, durch die Entwickelung ... wo C die Anzahl der Combinationen von p Grössen zu je q bedeutet. Wz. F. J. VAN DEN BERG. Nogmaals over de Bernoulliaansche coefficienten. Amst. Versl. en Meded. (3) VI. 265-276. Fortsetzung früherer Arbeiten des Verfassers über die Bernoulli'schen Coefficienten (Siehe F. d. M. XX. 1888. 265.) In vorliegender Abhandlung weist er nach, wie aus den früher gefundenen Beziehungen ohne viele Mühe andere abgeleitet werden können, welche sich zu Zahlenrechnungen besser eignen, als die früher mitgeteilten. Weiter wird auf die Arbeiten von Herrn Lucas (S. M. F. Bull. VIII, F. d. M. XII. 1880. 194) über denselben Gegenstand hingewiesen, in denen jedoch die hier gegebene Vereinfachung der Bernoulli'schen Reiben nicht enthalten ist. G. G. RIBONI WO Alcune formole sulle somme delle potenze simili dei numeri naturali. Besso Per. Mat. IV. 49-51. Es mögen als Beispiele folgende Formeln angeführt werden, ... ... S" (a) = 1′′ +-2′′ + ··· + a", S° (a) = 1° +2°+ ··· +ao = a, S (a) = S1(a) ist: S(a") = a2{S(a"-1)+a"-3S(a)—a"-1}, S" (a+b+c) =S"(a)+a"b+(a+b)"c+(''){a"--1 S(b)+(a+b)"−1S(c)} n + („ ~ 1 ) {as"−1(b) + (a+b) S′′−1 (c) } +S"(b)+S" (c), n 2-1 -1 S"(ab) = S" (a) + (")a” S° (a) S" (b) + (1) a1−1 S (a) S"−1 (b) + ··· +(„11)as"-1(a)S(b)+(")S" (a)So (b) convergirt so schnell, dass durch Berücksichtigung der ersten 13 Glieder die Summe der Reihe bis auf zwanzig Decimalen genau berechnet werden kann. Für T besteht eine analoge Formel. 1 Wz. R. MILDNER. Ueber die Bestimmung eines unendlichen Productes. Schlömilch Z. XXXIV. 55-59. |