den Winkel (0, 2, 2), weil es für das Ziel seiner Untersuchung und unter den Voraussetzungen derselben genügte, zu constatiren, dass der Cosinus des ersten und die Sinus der beiden andern von der Einheit nur um kleine Grössen zweiter Ordnung verschieden seien. In ähnlicher Weise waren auch in meiner (Astronom. Nachrichten Nr. 1027 ff. veröffentlichten) Untersuchung, welche für den allgemeinsten Fall die Entwicklung der Glieder von der Ordnung der sogenannten sphärischen Abweichung zum Gegenstand hat, nur Näherungswerthe für die trigonometrischen Functionen jener Winkel zu Grunde zu legen. Es versteht sich, und ist auch von Bessel am oben angeführten Orte ausgesprochen worden, dass die Entwerfung strenger Formeln, durch welche für jede Lage des auffallenden Strahles die entsprechende des gebrochenen bestimmt wird, keine wirkliche mathematische Schwierigkeit bietet; man erhält aber bei einer nicht ganz angemessenen Wahl der Grössen, mit Hilfe deren diese Lage bestimmt wird, die Rechnungsvorschriften leicht in einer Gestalt, die ganz geeignet ist, von ihrer wirklichen Benützung selbst einen ausdauernden Rechner zurückzuschrecken, (um so mehr, da die Verfolgung einzelner Strahlen im Raume überhaupt nur angezeigt ist, wenn man über eine etwas grössere Anzahl von Brechungen verfügt) z. B. in solcher Form, dass bei jeder einzelnen Ablenkung, die der Strahl erleidet, entweder ein unbequemes sphärisches Dreieck aufgelöst, oder durch successive Näherung vorgegangen werden muss. Nachdem indessen die steigenden Anforderungen an Oeffnung und Gesichtsfeld, namentlich bei Photographen-Objektiven, nicht mehr erlauben, die Strahlen ausser der Axenebene zu ignoriren, so hoffe ich, einigen denkenden Optikern einen Dienst zu leisten durch die Mittheilung der folgenden Rechnungsvorschriften, welche die Probe der Anwendbarkeit bereits vielfach bestanden haben. Den nächsten Anlass, sie definitiv -- zusammenzustellen, hat mir der Wunsch des Hrn. Ministerialraths Dr. Steinheil gegeben. Für die Zwecke des von Ihm begründeten optischen Instituts hat seit einem Jahre Dr. Ad. Steinheil, der Sohn, meine Formeln zum öftern benützt: er findet nach denselben die Mühe der Berechnung Eines Strahles ausserhalb der Axen-Ebene nur sehr wenig grösser als diejenige, unter analoger Vorsicht gegen Irrungen des Calculs zwei Strahlen in der AxenEbene zu verfolgen. Hiernach scheinen die Formeln das Maximum der erreichbaren Bequemlichkeit sehr nahe darzubieten; denn nicht nur erfordert nach der Natur der Sache die Bestimmung der Lage im Raume überall zwei Projektionen, wo in der Ebene Eine genügt, sondern der allgemeine Fall ist auch deshalb verwickelter, weil auf jede einzelne Grösse eine grössere Anzahl von einander unabhängiger Variabeln Einfluss erhält. Handelt es sich um die Berechnung eines Apparates, der ausgeführt werden soll, so wird man der Sicherheit halber genöthigt sein, für jeden Strahl, der theoretisch verfolgt wird, entweder nach den Gleichungen, welche zur Bestimmung der gesuchten Stücke aufgestellt worden sind und ausreichen, die ganze Rechnung zweimal unabhängig zu führen, oder neben diesen Gleichungen noch besondere Controlformeln zur Prüfung der erhaltenen Zahlenwerthe zu benützen. Die letztere Art der Verification (natürlich unter der Voraussetzung, dass die Controlen erschöpfend für die einzelnen Acte der Rechnung sind) verdient unter den beiden Wegen den Vorzug, falls Ein Rechner die ganze Arbeit zu machen hat, weil ein solcher bekanntlich leicht an gleicher Stelle wieder in den gleichen Fehler verfällt; ich habe deshalb bei der Entwerfung der nachstehenden Vorschriften ein besonderes Augenmerk auf die Herstellung geeigneter Probeformeln gerichtet. Das Princip, nach welchem man erkennt, welche Theile einer numerischen Rechnung durch die richtige Erfüllung einer bestimmten ControlGleichung verificirt sind und welche nicht, ist einfach und fliesst aus der Natur der Sache. Wenn zur Berechnung einer Anzahl von Unbekannten eine gleich grosse Anzahl von Gleichungen einmal aufgestellt ist, so ist dadurch die Art der Abhängigkeit jener gesuchten Grössen von den gegebenen mathematisch vollkommen fest gelegt: dieselben Variabeln (oder einige von ihnen) können nicht noch einer weiteren überzähligen Bedingung sich unterwerfen, welche nicht aus ihrer bereits fixirten mathematischen Functionsform von selbst folgt. Jede sich darbietende überzählige Gleichung (Controlformel) für die Unbekannten muss also aus einigen der Gleichungen, die schon zur Bestimmung dieser Unbekannten benützt sind (oder aus ihnen allen zusammen), als eine identische Folgerung sich ableiten lassen, auch wenn vielleicht die Betrachtung, durch welche wir zunächst auf sie gestossen sind, ursprünglich eine andere Richtung eingeschlagen hätte. Man wird also auch in dem letzteren Falle, (der ziemlich häufig bei Grössen sich ergiebt, die für unsere Anschauung eine Bedeutung darbieten) nur zu untersuchen haben, welche unter den Bestimmungsgleichungen der Unbekannten nothwendig und ausreichend sind, um die überzählige (d. i. Control-) Gleichung aus ihnen abzuleiten: es ist klar, dass das richtige numerische Eintreffen der Controle nur eine Probe für die richtige Erfüllung derjenigen Bestimmungsgleichungen abgiebt, aus welchen sie selbst mathematisch hervorgeht, und nicht auch für die übrigen, die keinen Antheil an ihr haben. Der geradlinige Strahl, welcher an einer der sphärischen Flächen eines centrirten optischen Apparates gebrochen wird, möge diese Fläche treffen im Punkte P. Durch den Mittelpunkt M der Kugelfläche denken wir uns senkrecht zur optischen Axe eine Ebene gelegt: der auffallende Strahl (nöthigenfalls vor- oder rückwärts verlängert) durchdringe dieselbe in Q, der gebrochene aber in Q'). Der eine wie der andere wird nach seiner Lage im Raume vollkommen bestimmt durch je vier Stücke, die sehr verschieden gewählt werden können; wir nehmen dafür zwei Coordinaten, welche in der durch M gelegten Transversal-Ebene die Lage des Punktes Q (oder resp. Q') fixiren, und zwei Winkel, durch welche die Richtung definirt wird, unter der der Strahl (oder seine virtuelle Fortsetzung) den Punkt Q (resp. Qʻ) passirt. Es ist die Aufgabe, aus den gegebenen vier Stücken für den auffallenden Strahl zu berechnen die vier ähnlichen für den gebrochenen, natürlich unter Voraussetzung der Kenntniss des Brechungsverhältnisses und der Krümmung der brechenden Sphäre. Weil ferner, wenn mehrere Brechungen auf einander folgen, bei dem Uebergang von der Einen zur andern jedesmal der Punkt M ein anderer wird, und also die durch ihn gelegte Transversal-Ebene sich zugleich verrückt, so muss auch der Zusammenhang hergestellt werden zwischen den Coordinaten, welche sich auf die Eine beziehen, und denjenigen in der nächstfolgenden. · Die Ebene des Dreiecks PQM enthält den auffallenden Strahl PQ und das Einfallsloth PM: folglich nach dem Gesetze der Brechung auch den gebrochenen Strahl PQ'. Oder mit andern Worten: die beiden Ebenen PQM und PQ'M coincidiren. Folglich haben sie auch eine gemeinschaftliche Durchschnittslinie mit der durch M gelegten TranversalEbene, d. h. die drei Punkte Q, Q', M liegen in einer Geraden, oder die beiden Radienvectoren, welche von M aus nach Q 2) Die Benennungen werden hier, soweit es thunlich ist, conform gewählt denjenigen bei Gauss. und Q' gezogen werden, haben einerlei Richtung3). Bedient man sich also zur Bestimmung der Lage von Q und Q' innerhalb unserer Transversalebene der Polarcoordinaten, nehmlich der eben gedachten Radienvectoren MQ u, MQ' u', und der von diesen mit einer festen Richtung gebildeten Winkel, so hat man den Vortheil, dass die anguläre Coordinate durch die Brechung sich nicht verändert. Die feste Richtung, von der aus die Polarwinkel zählen, ist an sich ganz willkührlich, sie soll aber in allen nach einander zur Betrachtung kommenden Transversal-Ebenen dieselbe sein, d. h. in diesen verschiedenen Ebenen bezeichnet durch unter sich parallele und von der optischen Axe aus in gleichem Sinne Einseitig gezogene Gerade. Der Bequemlichkeit des Ausdrucks halber mag sie für uns die Richtung von M aus nach oben heissen: (wobei die Vorstellung horizontaler Lage der optischen Axe zu Grunde liegt); von ihr an werden die Winkel, welche verschiedene aus M gezogene (und nie rückwärts über M verlängerte) Radienvectoren mit ihr einschliessen, alle in Einem festgesetzten Sinne (,,rechts herum" sei er genannt) durchgezählt von 0 bis 360 Grad 4). In dieser Weise gerechnet 3) Im Falle die sphärische Fläche eine spiegelnde statt einer brechenden wäre, würden beide Richtungen einander diametral entgegengesetzt sein: von diesem besondern und zugleich besonders einfachen Fall werde ich im Folgenden nicht weiter reden. 4) Es ist übrigens erlaubt, von dem so gerechneten Winkel 360° abzuziehen, also z. B. statt der Winkel im 3. und 4. Quadranten negative stumpfe oder spitze Winkel einzuführen, überhaupt beliebige Vielfache der ganzen Kreisperipherie zu addiren oder zu subtrahiren, weil dadurch weder die durch die Winkel bestimmten Richtungen noch die goniometrischen Functionen der ganzen Winkel sich ändern, halbirte oder sonst getheilte Winkel aber in unseren Ausdrücken nicht auftreten. |