den cos u bestimmt, so findet man ihn aus COS W aus dem zweiten Sin 2 Diese Gleichung würde vor Nr. 6 den Vorzug grösserer Einfachheit haben, sie liefert aber für die numerische Rechnung in den praktisch wichtigsten Fällen, in welchen w und w' klein sind, eine ungünstigere Bestimmung des Winkels. Verbindet man sie dagegen mit 6, so erhält man noch 8) tg w' = tg w Sin (p-U) Sin (p'-U) so dass der Rechner die Wahl hat, den Logarithmus der Tangente (welcher beim Uebergang zur folgenden Brechung jedenfalls gebraucht wird) entweder zum vorher gefundenen des Sinus aus der Tafel zu nehmen, oder ihn selbständig aus Zahlen zu bilden, die bereits vorliegen. Für die Controle der Rechnung hätte übrigens die Uebereinstimmung der beiderlei Werthe wenig Gewicht, weil die Gl. 8 aus der ohnedies benützten Gl. 6 direkt mit Hilfe der Gl. für cos w hervorgeht, diese letztere aber (in der nur Grössen vorkommen die nahe 1 sind) durchaus kein empfindliches Kriterium abgiebt. Ein ungleich besseres liefert die folgende Gleichung: I) + = Sin & Sin w Sin 2 Sin w Sin (S-S') Sin (p-p') Sin (p-U) vorausgesetzt, dass man nicht bloss die Zahlenwerthe der beiden (nach Gl. 6 identischen) letzten Ausdrücke, sondern auch den des erstern dabei zuzieht. Man überzeugt sich von ihrer Richtigkeit, indem man links Zähler und Nenner mit Sin w Sin w' multiplicirt, im Zähler gemäss Gl. 4 2-2 statt S-S' setzt, im Nenner aber Sin (p-p') Sin[(p-U)-(p'-U)] auflöst, und für die einzelnen Produkte = Sin w cos (p-U), Sin w' cos (p'-U), Sin w' Sin (p'-U) nach den Gleichungen 1), 7), 6), ihre Werthe setzt. Hieraus erkennt man zugleich, dass das richtige Eintreffen der Gleichung I, (vorausgesetzt, dass der substituirte Zahlenwerth Sin (S-S') mit Sin ('—λ) übereinstimmt) als eine blosse Consequenz aus den Gleichungen 1), 6), 7) sich ergiebt und nichts als diese controlirt. Andrerseits sind (unter Voraussetzung, dass die Constanten R und nicht fehler n n' haft sind) die Werthe von Sin S und Sin S' selbst zugleich mit u' durch die doppelte Berechnung dieser letzteren Grösse nach Gl. 5 geprüft: es wäre aber noch möglich, dass entweder S oder S' zum richtigen Sinus falsch aufgeschlagen, und dadurch, oder durch ein Versehen in der Bildung ihrer Differenz selbst, S-S' und in Folge dessen auch fehlerhaft geworden wäre, ohne dass sich dieser Irrthum durch die bisherigen Controlen verriethe 6). Eine weitere Controle für die angedeuteten Uebergänge muss desshalb erwünscht sein; ich halte die nachstehende für die bequemste. Man hat Sin S' Sin S Wenn also gesetzt wird n' n 80 6) Wäre S-S' noch richtig und erst selbst fehlerhaft, würde die Probe I. den Fehler anzeigen. Ebenso auch, wenn zu richtigem cos und Sind ein falsches & wäre aufgeschrieben worden, dessen Fehler sich auf 2' mit übertragen hätte. Die Grösse zur Rechten ist constant für alle Strahlen gleicher Farbe, welche zwischen denselben beiden Medien gebrochen werden. Hat man die Rechnung für mehrere solche Strahlen gleichzeitig zu führen, so ist es nicht nöthig, die Constante wirklich zu bilden, sondern man hat nur zuzusehen, ob die Grösse links für diese verschiedenen Strahlen einerlei Werth annimmt. Wer. selten Fehler begeht und deshalb die Gefahr, eventuell einen grössern Theil des Calculs wiederholen zu müssen, nicht hoch anschlägt, kann überhaupt das Aufschlagen von w und cotg 2 @ ersparen, so ferne er mit dem gewöhnlichen Falle zu thun hat, in welchem der Strahl an zwei auf einander folgenden Flächen übertritt aus einem Medium A in B und aus diesem wieder in A, z. B. aus Luft in eine Glaslinse und aus dieser direct wieder in Luft. In diesem Falle ist nehmlich der folgenden Brechungen der entgegengesetzte, so dass es genügt, sich zu überzeugen, ob auch der Bruch zur Linken in Gl. II. entgegengesetzte numerische Werthe annimmt. Andrerseits könnte man auch, wenn die Constante 2 cotg 2 o berechnet ist, dafür das Aufschlagen von Sin (S-S') für die Gleichungen I. und II. ersparen, indem man den Ausdruck dieser Grösse aus der Gl. II. in I. substituiren und so die beiden Controlen in Eine verschmelzen würde. Indessen werden die meisten Rechner vorziehen, ihre Verificationen schon nach den kürzeren Abschnitten evident zu halten 7). Wenn es in besonderen Fällen ein Interesse hat (etwa 7) In keinem Falle kann die Gleichung II. die Prüfung entbehrlich machen, welche man für Sin S aus der doppelten Berechnung von u′ (Gl. 5.) erhält: denn jene controlirt ihrer Entstehung nach den Sin S überhaupt nicht. zur Bestimmung der Oeffnung irgend einer brechenden Fläche) den (spitzen) Winkel → zu kennen, welchen das Einfallsloth PM mit der Axe einschliesst, - der übrigens nach dem hier vorgeschlagenen Rechnungsgange sonst nicht gebraucht wird, - so findet man ihn wohl am bequemsten durch die Betrachtung, dass die Distanz des Punktes P von unserer durch M gelegten Transversal-Ebene gemessen wird einerseits durch R cos 0, andererseits auch durch Die Identität der beiden angesetzten Ausdrücke (eine nothwendige Folge des Umstandes, dass die Normale PM für den gebrochenen Strahl dieselbe Bedeutung hat, wie für den auffallenden) lässt sich auch direct erweisen aus Gl. 4), verbunden mit derjenigen, welche schon oben zur Ableitung von Gl. 8) gedient hat. Die Bestimmung des kleinen Winkels durch seinen cosinus ist zwar etwas ungünstig für die numerische Präcision, man wird aber nicht leicht in den Fall kommen, ihn genau kennen zu müssen, wesshalb ich es unterlasse, hier, wo er weiter nicht vorkommt, eine der minder eleganten Formeln aufzuführen, die zu seiner schärferen Berechnung dienen könnten. Die bisher aufgestellten Gleichungen enthalten Alles, was auf die Wirkung der einzelnen brechenden Fläche Bezug hat. Trifft nun der bereits gebrochene Strahl auf eine neue solche Fläche, so haben für den Vorgang an dieser letzteren unsere w', p' dieselbe Bedeutung, welche Anfangs den w und p zukam. Bezeichnen wir also durch Buchstaben mit unten angefügten Indices 1, 2, . . . die Grössen, welche für die zweite, dritte etc. Brechung die nehmliche Rolle spielen, wie die gleichnamigen ohne Index für die erste, so wird man haben (dazu auch n = = - n'). Hingegen sind u1, U1 nicht identisch mit u' und U' U, weil diese letztern Coordinaten noch zählen in der Transversalebene, welche durch den Mittelpunkt M der ersten brechenden Sphäre gelegt ward, und welcher Q' sowie Q angehört, während nunmehr der Durchschnittspunkt Q, des einmal gebrochenen Strahles mit der Transversalebene des Mittelpunktes M, der zweiten brechenden Kugel in Betracht kommt. Die Distanz der letzteren Ebene von der ersten, oder des Punktes M1 von M, (natürlich ausgedrückt in gleichem Maasse wie R und wie die u, u') werde hier mit D bezeichnet: positiv im Falle M auf derjenigen Seite von M, liegt, von welcher her ursprünglich die Strahlen kommen, und negativ im entgegengesetzten. Will man statt ihrer die (in der Axe gemessene) Dicke d der zwischen den beiden brechenden Flächen gelegenen Schicht einführen, so hat man 1 Ꭰ D=d+R+R, 1 wo vor jedem einzelnen der Halbmesser R, R, das obere oder untere Zeichen anzuwenden ist (je nach Lage der Fläche zu welcher er gehört) conform unserer allgemeinen Regel. Die bequemste Form für die Berechnung der Grössen u, U, erhält man am directesten auf die Art, dass man sich den Punkt Q' und das ganze zwischen ihm und Q1 liegende Stück des einmal gebrochenen Strahles der Axe parallel projicirt denkt in die neue durch M, gelegte |