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Transversalebene. Die Länge der Projection dieses Stückes ist (abgesehen vom Vorzeichen) D tg w'; wenn man also innerhalb der eben gedachten Ebene Abscissen dieser Länge parallel und Ordinaten senkrecht auf ihr rechnet, so ist auch Dtgw' der Unterschied der Abscissen beider Endpunkte unseres Stückes, während ihre beiden Ordinaten gleich sind. Aus dieser Betrachtung erhält man die Gleichungen:

10) {

=u' Sin (p'-U)

u1 Sin (p'-U1)
u1 cos (p'-U1) = u′

cos (p'-U)—D tg w' zur Bestimmung von u, und U1. (Weil erstere Grösse positiv sein muss, ist der Quadrant von p'-U1 fest gelegt.) Zur Controle kann man die aus beiden abgeleitete Formel benützen:

III.

Dtg w'

=

1

u1

=

1

2

u'

Sin (U-U1) Sin (p'-U) Sin (p'-U1) Sind hiernach u, U1 gefunden, und also w1, P1, u1, U, nunmehr bekannt, so wiederholen sich in Bezug auf die zweite Brechung alle Rechnungen, welche in Bezug auf die erste nach den Gleichungen 1) bis 7) vorzunehmen waren: man findet so der Reihe nach Grössen 2,, S1, S'1 S1, S', (mit Hilfe von n1n' und n', n,), 2', u'1, W'1=Wq, P'1=P2) n′,=n,), und wird ganz in derselben Weise auch noch weitere Brechungen verfolgen, wenn solche vorkommen. Zuletzt wird es sich dann darum handeln, zu untersuchen, wo der definitiv gebrochene Strahl die Ebene durchdringt, in welcher das Bild betrachtet werden soll. Zu dem Ende kommen wieder die Formeln 10) in Anwendung; wenn nehmlich in denselben unter w', p' die letzten Werthe dieser Grössen, unter u', U die Polarcoordinaten des Punktes verstanden werden, in welchem er, in seiner schliesslichen Lage, die Transversalebene des letzten Mittelpunktes durchdringt, und wenn jetzt D die Distanz der Bildebene von diesem letzten Mittelpunkte bezeichnet (positiv im Falle die Strahlen bei

ihrer ursprünglichen Richtung später auf die Bildebene als auf die Mittelpunktsebene treffen würden), so werden u1 U1 übergehen in die Polarcoordinaten des Punktes der Bildebene, den der austretende Strahl trifft, und zwar, wie immer, der Radiusvector gerechnet von der Axe aus, und der Polarwinkel rechts herum gezählt aus der Richtung nach oben.

Auch dann sind die Gleichungen 10) anzuwenden, wenn in der ursprünglichen Lage des auffallenden Strahles neben. w und p nicht direkt sein Durchschnittspunkt mit der Ebene des ersten Mittelpunktes gegeben wäre, sondern statt des letztern der Punkt, in welchem er durch irgend eine andere auf der Axe senkrechte Ebene passirt, etwa durch diejenige des Kreises, der die erste sphärische Fläche begrenzt, oder auch durch die Ebene eines anvisirten Objectes. Nennen wir v, V die Polarcoordinaten in einer solchen Ebene, Aden Abstand der letzteren von der Ebene unseres ersten Mittelpunktes M, und rechnen wir letztere Grösse positiv in dem Falle, der in der Anwendung der gewöhnlichere sein wird, nehmlich von M aus nach der Seite, von welcher die Strahlen ursprünglich kommen, so spielen hier die gegebenen Grössen w, p, v, V, ▲ und die gesuchten u, U der Reihe nach genau dieselben Rollen, wie die Grössen w', p', u', U, D, u1, U1 in der vorigen Betrachtung; man wird also haben:

1

[blocks in formation]

Bei dem wirklichen Gebrauche der Formeln wird der Rechner von selbst darauf aufmerksam sein, dass sehr viele der vorkommenden Grössen in ganz gleicher Weise in mehreren Gleichungen auftreten, wodurch die Arbeit be

deutend verringert wird. Wenn z. B. nach den letzten Gleichungen cos. und Sin (p-U) gefunden worden sind, so dient der cosinus direct wieder in Gl. 1), der Sinus in Gl. 6) und in 8); ebenso kommen die nach 6) und 7) berechneten Sin. und cos. von p'-U wieder vor in 10), der Sinus auch noch in 8); die Differenz S-S' in Gl. 4) und ihr Sinus in den Controlgleichungen I. und II.; das VerSin 2 hältniss in 5), und sein reciproker Werth in 6), soSin λ wie auch in der Gl. für cos w', und dergleichen mehr. Es giebt einen Ausnahmsfall, in welchem die von uns gewählte Art, die Lage des Strahles zu bestimmen, nicht anwendbar ist, nehmlich den Fall einer brechenden Planfläche. Hier würde die zugehörige Mittelpunktsebene ins Unendliche fallen, und damit den Dienst versagen. Dafür bietet sich von selbst die Aushilfe dar, hier unsere Transversalebene mit der brechenden Ebene coincidiren zu lassen, d. h. für u, U die Polarcoordinaten desjenigen Punktes zu wählen, in welchem die Planfläche vom Strahle getroffen wird. Sind dieselben nicht im Voraus gegeben, so werden sie, wenn noch keine Brechung vorausgegangen ist, nach den letzten Gleichungen, im andern Falle nach den Gleichungen 10) berechnet: natürlich muss jetzt für A oder D derjenige Werth genommen werden, welcher der Distanz von der vorher betrachteten Transversalebene bis an die brechende Ebene selbst entspricht. Durch die Brechung an dieser werden dann u, U beide nicht verändert, weil der Auffallspunkt auch dem gebrochenen Strahle angehört; man hat also hier u' = u. Auch die übrigen Gleichungen der Brechung vereinfachen sich. Weil nehmlich das Einfallsloth der Axe parallel wird, so ist hier S w und S'w'; man hat daher einfach

=

[blocks in formation]

p' = p

und dazu weil die Brechungsebene, welche der Strahl nicht verlässt, hier selbst durch die in seinem Auffallspunkte der Axe parallel gezogene Gerade geht. Es sind also die vier Bestimmungsstücke für die Lage des gebrochenen Strahles bekannt (w', p' u, U); hat man Anlass, seinen Weg noch weiter zu verfolgen, und zu dem Ende eine neue Transversalebene einzuführen, so dienen abermals die Gleichungen 10) in der Weise, dass der eine Endpunkt der Distanz D in der brechenden Planfläche selbst liegt.

=

p, u'

=

Die vorstehenden Rechnungsvorschriften (welche natürlich auch den speciellen Fall eines in der Axenebene gelegenen Strahles mit umfassen) schliessen sich in ihrer Gestalt sehr nahe denjenigen an, welche für den eben gedachten besondern Fall im allgemeinen Gebrauch sind. Ich muss indessen zum Schlusse bemerken, dass ich für die eigentlich angemessene (d. h. der Natur der Aufgabe am besten entsprechende) Art, in oder ausser der Axenebene den Gang des Lichtes durch optische Apparate rechnerisch zu verfolgen, eine wesentlich andere halte, nach welcher man direkt nicht die ganzen Grössen sucht, welche die Lage eines Strahles nach beliebig viel Brechungen bestimmen, sondern nur ihre Abweichungen von denjenigen Werthen, die nach den Näherungsformeln (ersten Grades) stattfinden würden. Nach diesem Verfahren hat man nur mit kleinen Grössen zu agiren, die durch wenige Decimalen genau genug gefunden werden, weil sie unmittelbar Das repräsentiren, was uns im optischen Bilde als Fehler erscheint. Auch diese Behandlung der Aufgabe ist eleganter Ausdrücke fähig, welche in einer ganz analogen Beziehung zu denjenigen der früher von mir entwickelten Fehler dritter Ordnung (im allgemeinen Falle des Raumes) stehen, wie die ,,Gleichungen mit endlichen Differenzen" zu den Differentialformeln. Indessen entfernt sich das angedeutete Verfahren ziemlich stark von der rechnerischen Gewohnheit der Optiker, deren praktisches Bedürfniss ich bei der gegenwärtigen Publikation zunächst im Auge habe; ich verspare daher das Nähere für eine andere Gelegenheit.

Herr Vogel, jun., legt seine von der königl. Akademie der Wissenschaften in Berlin gekrönte Preisschrift:

,,Ueber die Aufnahme der Kieselerde durch Vegetabilien"

der Classe vor und berichtet über deren Hauptresultate folgendes:

Die in grösserem und kleinerem Maasstabe ausgeführten Versuche umfassen eine Behandlung des Bodens mit krystallisirter und amorpher Kieselerde und zwar speciell auf Cerralien und Wiese angewendet. Befindet sich in einem Boden von vornherein amorphe Kieselerde oder wird ihm dieselbe als Dünger zugeführt, so erwächst hieraus der wesentlicheVortheil, dass die bei erwachender Vegetation zuerst stattfindende Umwandlung der krystallisirten in die amorphe Modifikation erspart wird; die amorphe und gelöste Kieselerde wird sogleich von der Ackerkrume absorbirt und dient unmittelbar der Pflanze zur Nahrung. Die Ackererde oder beziehungsweise deren Gehalt an organischen Bestandtheilen ist die Vermittlung zur Kieselerdeaufnahme, ohne Gegenwart von Ackererde ist die Aufnahme der Kieselerde den Pflanzenwurzeln im hohen Grade erschwert. Wird in irgend einer Pflanzenasche Kieselerde in reichlicher Menge nachgewiesen, so kann wohl mit Bestimmtheit angenommen werden, dass sie auf einem an organischen Bestandtheilen reichen Boden gewachsen sei. Der Kieselerdegehalt der Pflanzen steht mit dem Gehalte an Organismen des Bodens in einem bestimmten Verhältnisse, ja derselbe ist weniger von dem Kieselerdeals dem organischen Gehalte des Bodens abhängig. Bei der grossen und allgemeinen Verbreitung der krystallisirten Kieselerde in allen Bodenarten wird ihre Aufnahme für die Pflanzen vorzugsweise durch die im Boden vorhandenen oder

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