Cette équation, ayant lieu quel que soit i, servira à interpoler les suites dont les différences des termes vont en décroissant. Toutes les manières de développer la puissance donneront autant de méthodes différentes pour interpoler les suites; soit, par exemple, en développant suivant les puissances de z, au moyen du beau théo rème de M. de la Grange (voir les Mémoires de l'Académie, année 1777, page 115), on trouvera facilement Maintenant, z étant égal à ť (¦ − 1), le coefficient de 1o dans le développement de uz est, par l'article précédent, Ay; ce même coefficient dans le développement de uz est 12y-2r, et ainsi de suite. On aura donc Voici présentement une méthode générale d'interpolation qui a l'avantage de s'appliquer, non seulement aux suites dont les différences des termes finissent par être nulles, mais encore aux suites dont la dernière raison des termes est celle d'une suite récurrente quelconque. I Il est clair que est égal au coefficient de 0' dans le développement I ti de la fraction si l'on multiplie le numérateur et le dénomina 6 D'ailleurs, le coefficient de ' dans le développement de (1—6)s I est pourvu que ficient; d'où il suit que le coefficient de 0' est : 1o i + 1 dans le déve dans le et ainsi du reste. Donc, si l'on nomme Z le coefficient de 9 ou (i + 1) [(i + 1)2 — 1] 2=i+1+ 1.2.3 (i + 1) [(i + 1)2 — 1 ] [ ( i -+- 1)2 — 4] 1.2.3.4.5 de (i + 1) [(i + 1)2 — 1] [(i + 1)2 — 4] [(i + 1)2 —— 9] ̧3 + ... ... .... 1.2.3.4.5.6.7 Si l'on nomme ensuite Z' le coefficient de 6 dans le développement Ө ( 1 —— 6 )2 ——— - 9' on aura Z', en changeant, dans Z, i en i — 1, ce qui 33 + On aura ainsi ZtZ' pour le coefficient de 6 dans le développement (1-6)2 — 0; ce sera, par conséquent, l'expression de I θε de la fraction ; partant Cela posé, le coefficient de dansest ya+i; ce même coefficient, dans un terme quelconque de uZ, tel que Kuz' ou, ce qui revient au mème, Kur (¦ − 1)” 1)” est, par l'article II, égal à KAay...-,; dans un terme quelconque de ut Z', tel que Kutz', ce coefficient est KA"ya-r-1. On aura donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes, On peut varier encore la forme précédente de ya+; pour cela, soit Z" ce que devient Z' lorsqu'on y change i en i-1 et, par conséquent, ce que devient Z lorsqu'on y change i en i 2; l'équation Z". En ajoutant ces deux valeurs de et prenant la moitié de leur somme on aura, d'où l'on conclut, par l'article II, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes, Cette formule revient à celle que Newton a donnée dans l'opuscule intitulé Methodus differentialis, pour interpoler entre un nombre impair de quantités équidistantes; dans ce cas, y désigne la quantité du milieu et i est la distance de cette quantité à celle que l'on cherche, qui, par conséquent, est y+i, l'unité étant supposée l'intervalle commun des quantités données. En différentiant aux différences finies la formule précédente par rapport à i, on aura Cette formule revient à celle que Newton a donnée dans l'opuscule cité, pour interpoler entre un nombre pair de quantités équidistantes; y', exprime la seconde des deux quantités moyennes, et sa distance à celle que l'on cherche et qui, par conséquent, est l'unité représentant l'intervalle commun des quantités don x+ nées. 2 exprime |