en ayant soin, dans le développement de ces équations, d'écrire y, au Si, dans les formules (7) et (8), on suppose i infiniment petit et égal à dx, 'A"(hy) se changera dans d" (hy) et '" (hy) dans S" (hy«); on a d'ailleurs Je dois observer ici que les équations (1), (2), (3), (4), (5) et (6) de l'article précédent ont été trouvées par M. de la Grange, dans les Mémoires de Berlin pour l'année 1771, au moyen de l'analogie qui existe entre les puissances positives et les différences, et entre les puissances négatives et les intégrales; mais cet illustre auteur se contente de la supposer sans en donner la démonstration, qu'il regarde comme très difficile. Quant aux équations (7), (8), (9), (10), (11) et (12), elles sont nouvelles, à l'exception de l'équation (10), dont M. Euler a donné le cas particulier où n = 1 dans ses Institutions de Calcul différentiel. XII. On aurait une infinité de théorèmes analogues à ceux des articles précédents si, au lieu de considérer les différences et les intégrales de ya, on considérait toute autre fonction de cette variable; il sera facile de les déduire de la solution générale du problème suivant : T(y) représentant une fonction quelconque linéaire de Y, Ya+1, Y2-29 ..., et Vy, une autre fonction linéaire de ces mêmes variables, on propose de trouver l'expression de г(y) dans une suite ordonnée suivant les quantités Vyr, Vy, Vye .... Pour cela, soit u la fonction génératrice de y, us celle de г(y) et uz celle de Vỵ, s et ≈ étant fonctions de ; on commencera par tirer J en z, de l'équation qui exprime la relation de et de ≈ la valeur de ¦ et, en la substituant dans s, on aura la valeur de s en z; mais, comme il peut arriver que l'on ait plusieurs valeurs de¦ en z, on aura autant . d'expressions différentes de s. Pour en avoir une qui puisse appartenir indifféremment à toutes ces valeurs de s, nous supposerons que le nombre des valeurs de en z soit n, et nous donnerons à l'expression de s la forme suivante Z, Z, Z2, ... étant des fonctions de z qu'il s'agit de déterminer; or, si l'on substitue successivement dans cette équation, au lieu de¦, ses n valeurs en z, on formera n équations au moyen desquelles on déterminera les n quantités Z, Z, Z2, ...; il ne s'agira plus ensuite que de réduire ces quantités en séries ordonnées par rapport aux puissances de et de les substituer dans l'équation précédente. Cela posé, si l'on multiplie cette équation par u, le coefficient de 1o, dans us, sera T(y); ce même coefficient, dans un terme quelconque tel que sera, par l'article II, égal à Vyr. L'équation précédente donnera donc, en repassant des fonctions génératrices aux variables correspondantes, une expression de r(ya) par une suite ordonnée suivant les quantités Vy, Vay Vay, Vyx+19 V2yx+19 Vya+n On peut supposer encore, pour plus de généralité, que les quan 6 multipliées par des fonctions quelconques de, et l'on aura par ce moyen une infinité d'expressions différentes de г(yx). T(y) se changera dans y; on aura donc, par ce procédé, la valeur de Y en fonction de Vya, Vy, ...; mais la méthode que nous avons Ухні donnée pour cet objet dans l'article V est d'un usage beaucoup plus facile. XIII. Des suites à deux variables. Considérons une fonction yx,x, de deux variables x et x,, et nom le coefficient de tt sera y.,; ainsi u sera la fonction génératrice de yr.,, et, si l'on désigne par la caractéristique A les différences finies lorsque seul varie et par la caractéristique A, ces différences lorsque x, seul varie, la fonction génératrice de Ay,, sera, par l'article II, u(-1) et celle de ▲, y2.x, sera u -1); partant la fonction génératrice de AA, Yx.x, sera u u( − 1 ) ( − 1), d'où il est facile de con" ( − 1 ) ( − 1 ) " . clure que celle de A'Ayx, x, sera u En général, si l'on désigne par Vyx, x, la quantité si l'on désigne pareillement par Vya,, une fonction dans laquelle Vyr, entre de la même manière que ya.x, entre dans Vyr.,; si l'on désigne encore par Vyr., une fonction dans laquelle Vyr,, entre de la même manière que yar, dans Vyx.r, et ainsi de suite, la fonction yx,x, génératrice de Vyx, x, sera X, est la fonction génératrice de A'AV"yx 1,5-1, s étant supposé une fonction quelconque de et de, si l'on développe s' suivant les puissances de ces variables et que l'on désigne par K un terme quelconque de ce développement, le coefficient de 1*1* Και tmtm dans sera Kyx+m,x,+m,; on aura donc le coefficient de tt dans usi ou, ce qui revient au même, on aura Vy, 1o en substituant, dans s, y1⁄2 au lieu de¦et yx, au lieu de; 2o en développant ce que devient alors us suivant les puissances de au lieu d'un terme quelconque, tel que K(y)" (y)", Kyx+m, x,+m, et, par conséquent, en substituant Ky., au lieu du terme tout constant K ou K(y) (y). yx et de I et en écrivant, , on le Si, au lieu de développer s' suivant les puissances de et de développe suivant les puissances de ¦ – 1 et de - I, et que l'on déun terme quelconque de ce dévelop signe par K ( ¦ − 1 )” (;, − 1)”. I I pement, le coefficient de 17 dans Ku(; − 1)" (;, − 1)", ti sera KA"A",,; on aura done Vy..,: 1° en substituant, dans s, Ayx., au I t1 lieu de — 1 et ▲,..., au lieu de -1; 2° en développant ce que devient alors s' suivant les puissances de Ayr,, et de A,,, et en appliquant aux caractéristiques A et A, les exposants de ces puissances, c'est-à-dire en écrivant, au lieu d'un terme quelconque tel que K(Ayxx)" (A1Yx,x,)", celui-ci KA""'yx‚£ Soient Σ la caractéristique des intégrales finies relatives à a et 2, celle des intégrales relatives à x,; soit de plus la fonction génératrice de Σ' Σ γ...; on auras ΣΙΣ Υ I = (¦ -- 1)' (¦¦ -- 1)' pour la fonction génératrice de cette fonction génératrice doit, en n'ayant égard qu'aux puissances positives ou nulles de t et de t,, se réduire à u; on aura ainsi a, b, c, ..., q étant des fonctions arbitraires de t, et a,, b, c,, ..., q、 étant des fonctions arbitraires de t, partant De l'interpolation des suites à deux variables et de l'intégration des équations linéaires aux différences partielles finies et infiniment petites. Y+i+i, est évidemment égal au coefficient de 1 dans le développement de u ; or on a ti |