Si l'on change g en f, et réciproquement ƒ en g dans l'équation (a,), et si l'on détermine les deux constantes arbitraires, de manière que l'on ait y=1 et dy = g(1 − ƒ) + h lorsque ◊ = o, en nommant □(0) - Les deux fonctions J(0) et □(0) ont entre elles une relation fort simple, au moyen de laquelle, lorsque l'une des deux sera connue, l'autre le sera pareillement en effet, si, dans l'équation (b,), on fait équation qui est la même que l'équation (a,). De plus, comme on doit dy avoir, relativement à l'équation (b,), y=1 et do lorsque 0 o, on aura, dans ce même cas, y, = 1 et =g-fg+h ainsi les deux constantes arbitraires de l'intégrale de l'équation en y, sont les mêmes que celles de l'intégrale de l'équation (a,), ce qui donne partant y1 = I(0), □(9)=(19)S-8 J (9). OEuvres de L. ~ X. 9 On a d'ailleurs, relativement à l'équation (b,), la première integrale étant prise depuis ≈ = o jusqu'à ===s, et la seconde etant prise depuis = = - o jusqu'à = = §‚· Si l'une ou l'autre des deux quantités J=;) et ^1—; ), celle-ci $1 par exemple, Jį *—* ), est une fonction rationnelle et entière de z, alors l'expression de u, considerée relativement à la fonction arbitraire correspondante qui, dans ce cas, est ), sera exprimée par une suite finie de termes multiplies par les integrales successives de 5,5); car il est clair qu'alors [dz] =); =` sera composé de termes de la forme H /ads.), μ etant un nombre entier positif; or on a, en integrant par parties, 1 expression delivree da signe /, et dans laquelle on doit faire == s. On voit ainsi que la partie de l'expression de u relative à la fonction arbitraire) est independante, non seulement de toute integrale definie, mais encore de toute espèce d'integrale; or il resulte de ce que j'ai demontre, dans les Memoires cites de 1773, que l'expression complète de a est alors entièrement independante de toute integrale définie, c'est-à-dire qu'elle peut être exprimée par des intégrales indéfinies, uniquement relatives aux variables s et s, de l'équation proposée. On peut s'en assurer encore très aisément au moyen de la formule (V), car il est visible que l'intégrale sera dans ce cas réductible à des termes de cette forme u étant un nombre entier positif ou zéro; or on peut, par des intégrations par parties, réduire l'intégrale à des termes délivrés du signe et à des intégrales de cette forme fdz (s + z)" 4; (3); cette dernière intégrale, devant être prise depuis =o jusqu'à z = s1, est évidemment égale à celle-ci et, par conséquent, indépendante de toute intégrale définie; on voit par là comment l'intégrale peut se réduire à des intégrales indéfinies, quoique le facteur puisse ne pas être une fonction rationnelle et entière de z. J Maintenant, la condition nécessaire pour que l'expression de 1(), réduite en série, se termine, est que l'on ait A®= o, Lorsque l'une ou l'autre de ces deux valeurs de μ est zéro ou un nombre entier positif, alors (3) est une fonction rationnelle et S entière de ; en changeant ƒ en g et réciproquement, on aura et, si l'une ou l'autre de ces valeurs de μ est zéro ou un nombre entier positif, la valeur de □(1) sera une fonction rationnelle et entière dez; dans tous ces cas, l'expression de u ne dépendra d'aucune intégrale définie; autrement elle en sera nécessairement dépendante. Si l'on nomme a la distance d'une molécule d'air à l'origine du son dans l'état d'équilibre; x + u sa distance après le temps 1, on aura a2 étant un coefficient constant dépendant de l'élasticité et de la densité de l'air, et m étant o, ou 1, ou 2, suivant que l'on considère l'air ou avec une seule, ou avec deux, ou avec trois dimensions (voir, sur cet objet, les savantes recherches de M. de la Grange sur le son, insérées dans le Tome II des Mémoires de la Société royale de Turin). Soient x + at = s, x — at = s,; l'équation précédente deviendra la première intégrale étant prise depuis ≈ = o jusqu'à ≈ = x + at, et la seconde étant prise depuis zo jusqu'à ≈ = x al. La fonction est la valeur de y dans l'équation différentielle x + at dans laquelle = 2x , les deux constantes arbitraires de son intégrale devant se déterminer, en sorte que l'on ait Si l'on a mo ou m = 2, la valeur de y ordonnée suivant les puissances de se termine, et alors la valeur de u est indépendante de toute intégrale définie; mais, lorsque m=1, ce qui a lieu quand on ne considère l'air qu'avec deux dimensions, l'expression de u est nécessairement dépendante d'une intégrale définie. Si l'on change dans I (2 1, en x± at + 3,, on aura, par x + at = at +, est l'intégrale étant prise depuis, o jusqu'à 3, = ∞. Il résulte évidemment de cette valeur de u que la molécule d'air dont elle exprime le dérangement ne commence à s'ébranler que lorsque égal ou moindre que le rayon de la petite sphère agitée au commencement; d'où il suit que, dans les trois cas où l'air a une, ou deux, ou trois dimensions, la vitesse du son est la même et se détermine par l'équation = ; on voit ainsi que les formes précédentes des intégrales des équations aux différences partielles ont le même avantage dans les questions physiques que les formes connues jusqu'à présent. Nous pourrions encore appliquer la méthode précédente à la recherche des vibrations des cordes inégalement épaisses, à la théorie du son dans des tuyaux d'une figure quelconque et à plusieurs autres x |