MÉMOIRE SUR LA DÉTERMINATION DES ORBITES DES COMÈTES. Mémoires de l'Académie royale des Sciences de Paris, année 1780; 1784. I. Newton a donné, à la fin de l'opuscule intitulé: De Systemate mundi, une méthode fort simple pour déterminer les orbites des comètes. Cette méthode, adoptée depuis par plusieurs géomètres, est fondée sur la supposition du mouvement rectiligne et uniforme de la comète, dans l'intervalle de trois observations très peu éloignées entre elles; en sorte que, si l'on considère cet intervalle comme un infiniment petit du premier ordre, on néglige les quantités du second ordre qui dépendent de la courbure de l'orbite et de la variation du mouvement de la comète. Cependant on ne détermine, dans cette méthode, la position de la petite droite que la comète est censée décrire, qu'au moyen des différences secondes de la longitude ou de la latitude géocentrique; on y rejette donc des quantités du même ordre que celles que l'on emploie, ce qui doit nécessairement la rendre fautive. Je fis part à l'Académie, il y a quelques années, de cette remarque que m'avait fait naître la lecture d'un Mémoire qui lui avait été présenté sur cet objet (Histoire de l'Académie, année 1773, p. 60); et, pour la confirmer a posteriori, je prouvai que, dans plusieurs cas, la méthode dont il s'agit conduisait à des résultats fort éloignés de la vérité, en indiquant, par exemple, un mouvement réel direct lorsqu'il était rétrograde. Je ne poussai pas alors plus loin ces recherches; mais, les savants Mémoires que MM. de la Grange et du Séjour viennent de publier ayant réveillé mes anciennes idées sur cette matière, je vais présenter ici les réflexions que j'ai faites sur un problème qui, par son importance et sa difficulté, mérite toute l'attention des géomètres. La solution générale de ce problème, pour trois observations éloignées, étant au-dessus des forces de l'Analyse, on est obligé de recourir à des observations peu distantes entre elles; mais alors les erreurs dont elles sont toujours susceptibles peuvent influer très sensiblement sur les résultats. Dans les méthodes connues, ces résultats sont donnés en séries, et les observations peuvent être supposées d'autant plus éloignées que l'on y considère un plus grand nombre de termes. C'est ce que Newton a fait dans la belle solution synthétique qu'il a donnée de ce problème, dans le troisième Livre des Principes; mais la formation des termes successifs de ces séries est très pénible, et cette manière de corriger l'influence des erreurs des observations serait peu commode dans la pratique. En cherchant un moyen plus simple de corriger cette influence, j'ai pensé que l'on pouvait faire servir à cet usage les observations voisines d'une comète, et que, au lieu de se borner à trois comme on l'a fait jusqu'ici, on pouvait en considérer un plus grand nombre. Pour cela, il suffit de déterminer par les méthodes connues d'interpolation les données de l'observation qui entrent dans la solution du problème. Le choix de ces données étant arbitraire, j'ai préféré celles qui offrent le résultat analytique le plus simple et le plus exact: ces données sont la longitude et la latitude géocentrique de la comète à une époque fixe, et leurs premières et secondes différences infiniment petites, divisées par les puissances correspondantes de l'élément du temps. Je donne, pour les obtenir, des formules très commodes et qui sont d'autant plus précises que les observations sont en plus grand nombre et faites avec plus de soin. |